Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(F(x)\)là một nguyên hàm của \(f(x)\)trên \(\mathbb{R}\)và \(F(2) = 6,F(4) = 12\). Tính tích phân \(\int_2^4 {f(x)dx} \) bằng

Lời giải

a) \(\int\limits_1^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  = 128 \Rightarrow  - \int\limits_1^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 128 \Rightarrow \int\limits_1^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - 128\). Suy ra là mệnh đề sai.

b) \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  = 20 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 20 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  > \int\limits_1^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \). Suy ra là mệnh đề sai.

c) \(\int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 20 \Rightarrow f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right) = 20 \Rightarrow f\left( 1 \right) = f\left( { - 1} \right) + 20 = 20 - \frac{{43}}{4} = \frac{{37}}{4}\). Suy ra là mệnh đề đúng.

d) \(\int\limits_{ - 1}^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_1^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 20 - 128 =  - 108\). Suy ra là mệnh đề đúng.

Lời giải

Đáp án: 2,48.

1. Xác định mốc thời gian (\(t\)):

Năm 2025 ứng với \(t = 0\).

Năm 2040 ứng với \(t = 2040 - 2025 = 15\).

Năm 2060 ứng với \(t = 2060 - 2025 = 35\).

2. Tìm hằng số \(k\):

Theo đề bài, mức tăng nhiệt độ đến năm 2040 là 0,99°C, tức là \(T(15) = 0,99\).

Ta có phương trình: \(0,99 = k\int_0^{15} {(420 + 2,5x + 0,02{x^2})} dx \Rightarrow k = \frac{{0,99}}{{6603,75}}\).

3. Tính mức tăng nhiệt độ đến năm 2060 (\(T(35)\)):

\(\begin{array}{l}T(35) = k\int_0^{35} {(420 + 2,5x + 0,02{x^2})} dx = \frac{{0,99}}{{6603,75}}.\int_0^{35} {(420 + 2,5x + 0,02{x^2})} dx\\ = \frac{{0,99}}{{6603,75}}.\left[ {420x + 1,25{x^2} + \frac{{0,02}}{3}{x^3}} \right]_0^{35} \approx 2,47615...\end{array}\)

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, ta được: 2,48°C.