(2,0 điểm) Hưởng ứng phong trào “Tết trồng cây”, bốn lớp 6A, 6B, 6C, 6D của một trường THCS đã tham gia và trồng được tất cả \(240\) cây. Số cây lớp 6A trồng được bằng \(\frac{4}{{15}}\) tổng số cây. Số cây lớp 6B trồng được bằng \(\frac{1}{4}\) số cây còn lại. Tổng số cây hai lớp 6C và 6D trồng được bằng \(\frac{{11}}{5}\) số cây lớp 6C trồng được.

(a) Tính số cây lớp 6C đã trồng.

(b) Biết giá tiền mua \(1\) cây xanh để trồng là \(25\) nghìn đồng. Hỏi lớp 6D đã phải trả bao nhiêu tiền mua cây xanh?

Ta có \(P = \frac{{2023}}{{2024}} + \frac{{2024}}{{2025}} + \frac{{2025}}{{2026}} + \frac{{2026}}{{2023}}\)

\( = \left( {1 - \frac{1}{{2024}}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{{2025}}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{{2026}}} \right) + \left( {1 + \frac{3}{{2023}}} \right)\)

\[ = 4 + \frac{3}{{2023}} - \left( {\frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2026}}} \right)\].

Vì \(\frac{1}{{2024}} < \frac{1}{{2023}};\,\,\frac{1}{{2025}} < \frac{1}{{2023}};\,\,\frac{1}{{2026}} < \frac{1}{{2023}}\) nên \[\frac{3}{{2023}} - \left( {\frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2026}}} \right) > 0\]

Do đó \(P > 4\)

Ta có \[Q = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{31}} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{15}}} \right) + \left( {\frac{1}{{16}} + ... + \frac{1}{{31}}} \right)\]

\[ < \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{8} + ... + \frac{1}{8}} \right) + \left( {\frac{1}{{16}} + ... + \frac{1}{{16}}} \right)\]

\[ < \left( {\frac{1}{2} \cdot 2} \right) + \left( {\frac{1}{4} \cdot 4} \right) + \left( {\frac{1}{8} \cdot 8} \right) + \left( {\frac{1}{{16}} \cdot 16} \right)\]

\[ < 1 + 1 + 1 + 1 = 4.\]

Do đó \(Q < 4.\)

Như vậy \(P > 4 > Q.\)

Vậy \(P > Q.\)

a) Vì điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(A\)

\(OB + BA = OA\)

\(1 + BA = 7\)

\(BA = 7 - 1\)

\(BA = 6cm\)

Vậy độ dài đoạn thẳng \(BA\) là \(6cm\)

b) Vì \(C\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), nên ta có:

\[BC = CA = \frac{{AB}}{2}\]

\[BC = \frac{{BC}}{2} = \frac{6}{2} = 3\;(cm)\]

Vậy độ dài đoạn thẳng \(BC\) là \(3cm\).

c) Ta có điểm \(B\) nằm giữa \(O\) và \(C\) (Do \(O\), \(B\), \(A\) thẳng hàng theo thứ tự và \(C\) là trung điểm \(AB\)).

\(OC = OB + BC\)

\(OC = 1 + 3 = 4(cm)\)

Suy ra: \(OD = OC\).

Vì điểm \(O\) nằm giữa hai điểm \(D\), \(C\) và \(OD = OC( = 4cm)\)

nên điểm \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC\).