Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
Xác định thiết diện là một tam giác cân và tính diện tích tam giác đó.
Giải chi tiết:
N, P, D thẳng hàng.
Do đó, thiết diện của mặt phẳng \((MNP)\) với tứ diện là tam giác MND
\[MN = \frac{{AB}}{2} = a.\]
Vì ABCD là tứ diện đều nên:
\[DM = DN = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .\]
Suy ra tam giác MND cân tại \(D\).
Gọi \(H\) là trung điểm của $MN$ thì:
\[DH \bot MN.\]
Ta có:
\[DH = \sqrt {D{M^2} - M{H^2}} = \sqrt {{{(a\sqrt 3 )}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {3{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{11{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}.\]
Diện tích tam giác $MND$ là:
\[{S_{MND}} = \frac{1}{2}{\mkern 1mu} MN \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{{a\sqrt {11} }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}.\]
Vậy diện tích thiết diện là \(\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}\). Chọn C.
Dành cho bạn Hot
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập