Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm \(g'(x)\) và lập bảng biến thiên của \(g(x)\) dựa vào đồ thị \(y = f'(x)\).
Giải chi tiết:
Từ đồ thị \(y = f'(x)\) và giả thiết \(f( - 1) = \frac{{13}}{4}\), \(f(2) = 6\),
suy ra hàm số \(f(x)\)đồng biến trên đoạn \([ - 1;2]\).
Xét hàm số:
\[g(x) = {f^3}(x) - 3f(x).\]
Ta có:
\[g'(x) = 3{f^2}(x)f'(x) - 3f'(x) = 3f'(x)({f^2}(x) - 1).\]
Xét trên đoạn \([ - 1;2]\):
\[g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'(x) = 0,}\\{{\rm{ho?c }}f(x) = \pm 1.}\end{array}} \right.\]
Từ đồ thị, \(f'(x) = 0\) tại \(x = - 1\) và \(x = 2\).
Vì \(f(x)\) đồng biến trên \([ - 1;2]\) nên:
\[f( - 1) = \frac{{13}}{4} > 1,\qquad f(2) = 6 > 1.\]
Suy ra phương trình \(f(x) = \pm 1\) không có nghiệm trên \([ - 1;2]\).
Do đó, giá trị lớn nhất của \(g(x)\) chỉ có thể đạt tại các đầu mút.
Tính giá trị tại các điểm biên:
\[g( - 1) = {\left( {\frac{{13}}{4}} \right)^3} - 3 \cdot \frac{{13}}{4} = \frac{{2197}}{{64}} - \frac{{39}}{4} = \frac{{2197 - 624}}{{64}} = \frac{{1573}}{{64}}.\]
\[g(2) = {6^3} - 3 \cdot 6 = 216 - 18 = 198.\]
So sánh:
\[\frac{{1573}}{{64}} > 198.\]
Vậy giá trị lớn nhất của \(g(x)\) trên \([ - 1;2]\) là \[\frac{{1573}}{{64}}.\]
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập