Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm \(A\) trên bờ biển đến một điểm C trên một hòn đảo cách bờ biển \(6{\rm{km}}\). Giá để xây đường ống trên bờ là 50000 USD mỗi km, giá để xây dựng đường ống dưới nước là 130000 USD mỗi km. Biết tổng số tiền công là 1170000 USD. B là điểm trên bờ biển sao cho \(CB\) vuông góc với bờ biển. Gọi khoảng cách từ \(A\) đến \(S\) là \(x\;{\rm{km}}\)(\(0 < x < 9\)).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có \(SB = 9 - x\).

Xét \(\Delta SBC\) có \(SC = \sqrt {S{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}} \).

b) \(50000.AS + 130000.SC = 1170000\).

c) Ta có \(50000.x + 130000.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}}  = 1170000\)

\( \Leftrightarrow 5x + 13.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}}  = 117\)

\( \Leftrightarrow 13.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}}  = 117 - 5x\) (1).

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được

\(169\left( {117 - 18x + {x^2}} \right) = 13689 - 1170x + 25{x^2}\)

\( \Leftrightarrow 144{x^2} - 1872x + 6084 = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{13}}{2}\).

Thử lại ta thấy \(x = \frac{{13}}{2}\) là nghiệm của phương trình.

Do đó tổng km làm đường ống là \(AS + SC = 6,5 + \sqrt {{6^2} + {{2,5}^2}}  = 13\).

d) Ta có \(SA = SC = \frac{{13}}{2}\).