Cho \(\Delta DEF\) có \(DE = DF\), hạ \(DK \bot EF\,\,\left( {K \in EF} \right)\). Gọi \(EM,\,\,FN\) lần lượt là đường phân giác trong \(E,\,\,\,F\) của \(\Delta DEF\) và chúng cắt nhau tại \(I\).

Khi đó:

a) Sai.

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta AEK\), ta có:

\(\widehat {ACE} = \widehat {AKE} = 90^\circ \) (gt)

\(CA = AK\) (gt)

\(AE\) chung (gt)

Do đó, \(\Delta ACE = \Delta AKE\) (ch – cgv)

b) Đúng.

Do \(\Delta ACE = \Delta AKE\) (ch – cgv) nên \(\widehat {CAE} = \widehat {KAE}\) (hai góc tương ứng).

Do đó, \(AE\) là phân giác của \(\widehat {CAB}\).

c) Sai.

Do \(\Delta ACE = \Delta AKE\) (ch – cgv) nên \(CE = EK\) (hai cạnh tương ứng).

Mà xét tam giác \(\Delta KEB\) vuông tại \(K\) nên \(BE > EK\).

Mà \(EK = EC\) nên \(EB > CE\).

d) Đúng.

Ta có \(\widehat {ABC} = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {90^\circ + 60^\circ } \right) = 30^\circ \).

Lại có \(AE\) là phân giác của \(\widehat {CAB}\) nên \(\widehat {EAK} = \frac{1}{2}\widehat {CAB} = 30^\circ \).

Suy ra \(\widehat {EAK} = \widehat {CBA} = 30^\circ \).

Do đó, tam giác \(AEB\) cân tại \(E\).

Có \(EK \bot AB\) nên \(EK\) là đường cao, đường trung trực trong tam giác \(EKB.\)

Do đó, \(K\) là trung điểm của \(AB\)

Suy ra \(AK = \frac{1}{2}AB\) hay \(AB = 2AK\).

Mà \(AK = AC\) nên \(AB = 2AC\).

Đáp án: 17

Nhận thấy phân giác của hai góc \(B,\,\,A\) trong tam giác cắt nhau tại \(I\).

Suy ra \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác.

Do đó, \(CI\) là phân giác góc \(C\).

Suy ra \(x = 17^\circ \)