Viết phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là  \({F_1};{\rm{ }}{F_2}\)  biết:

a) (E) đi qua hai điểm: \(P\left( {4;\frac{9}{5}} \right)\) và \(Q\left( {3;\frac{{12}}{5}} \right)\)

b) (E) đi qua \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại M.

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng cần tìm  có dạng: \(A\left( {x + 2} \right) + By = 0\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)\).

Theo giả thiết, ta có:

\[{\rm{cos}}45^\circ  = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left| {A + 3B} \right| = \sqrt 5 \sqrt {{A^2} + {B^2}}  \Leftrightarrow \]\(2{A^2} - 3AB - 2{B^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{A}{B} = 2\\\frac{A}{B} =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2,B = 1\\A = 1,B =  - 2\end{array} \right.\).

Vậy có hai đường thẳng  thỏa yêu cầu bài toán là \[2(x + 2) + y = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 4 = 0\] và \[1(x + 2) - 2y = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\].

Hướng dẫn giải

a) Bán kính của đường tròn là \(R = IA = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5\).

Phương trình của đường tròn là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).

b) Toạ độ trung điểm \(I\) của  \(AB\) là \(I\left( { - 2;1} \right)\).

Bán kính của đường tròn là \(R = AI = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {17} \).

Phương trình của đường tròn là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 17\).

c) Có tâm \(I\left( {1;3} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng  \(x + 2y + 3 = 0\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\) bằng bán kính \(R = \frac{{|1 + 2.3 + 3|}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5 \).

Phương trình đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20\).