Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 2;2} \right)\);
b) Có đường kính \(AB\), với \(A\left( { - 1; - 3} \right),B\left( { - 3;5} \right)\);
c) Có tâm \(I\left( {1;3} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\).

Viết phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là  \({F_1};{\rm{ }}{F_2}\)  biết:

a) (E) đi qua hai điểm: \(P\left( {4;\frac{9}{5}} \right)\) và \(Q\left( {3;\frac{{12}}{5}} \right)\)

b) (E) đi qua \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại M.

Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí \[A\] cách lề đường một khoảng \[50\,{\rm{m}}\] để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm \[B\], cách mình một đoạn \[200\,{\rm{m}}\] thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là \[5\,{\rm{km/h}}\], vận tốc xe đạp của Hùng là \[15\,{\rm{km/h}}\]. Hãy xác định vị trí \[C\] trên lề đường (tham khảo hình vẽ) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Cho các vectơ \(\vec a = \frac{1}{2}\vec i - 5\vec j,\vec b = x\vec i - 4\vec j\). Tìm \(x\) để:

a) \(\vec a \bot \vec b\)

b) \(|\vec a| = |\vec b|\).

c) \(\vec a,\vec b\) cùng phương với nhau.

a) Tìm  \[m\] để \(f\left( x \right) =  - {x^2} - 2x + m\)  luôn âm với mọi \[x\].

b) Tìm \[m\] để \(g\left( x \right) = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3\)không âm với mọi \(x\).

Giải các bất phương trình bậc hai:

a) \[{x^2} - 1 \ge 0\].              b) \({x^2} - 2x - 1 < 0\).                                 c) \((4 - 3x)( - 2{x^2} + 3x - 1) \le 0\).