Trong không gian với hệ tọa độ \[{\rm{Ox}}yz,\] cho đường thẳng

   \[\Delta :\;\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 2}}\]

và mặt phẳng

                                             \[(P):\;2x - y + 2z - 3 = 0.\]

Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\).

Khẳng định nào sau đây đúng?

Giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương:

                \[\vec u = (1,{\mkern 1mu} 2,{\mkern 1mu} - 2).\]

Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến:

                 \[\vec n = (2,{\mkern 1mu} - 1,{\mkern 1mu} 2).\]

Góc \(\alpha \) giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa mãn:

     $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}|}{\Vert \overrightarrow{u}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{n}\Vert }.$                                                             

Ta có:

\[\vec u \cdot \vec n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1) + ( - 2) \cdot 2 = - 4,\]

                                             \[|\vec u \cdot \vec n| = 4,\]

             $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{1^2+2^2+{(-2)}^2}=3,$ $\Vert \overrightarrow{n}\Vert =\sqrt{2^2+{(-1)}^2+2^2}=3.$                                                

Suy ra:

                \[\sin \alpha = \frac{4}{{3 \cdot 3}} = \frac{4}{9}.\]

Đáp án cần chọn: A.