Cho hai vị trí \(A,B\) cách nhau \(615m,\) cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ \(A\) và từ \(B\) đến bờ sông lần lượt là \(118m\) và \(487m.\) Một người đi từ \(A\) đến bờ sông để lấy nước mang về \(B.\) Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là:

(Kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).

Giải chi tiết:

Giả sử người đó đi từ \(A\) đến \(M\) để lấy nước và đi từ \(M\) về \(B.\) Dễ dàng tính được \(BD = 369,\)\[EF = 492.\] Ta đặt \(EM = x,\) khi đó:

Ta có: \[MF = 492 - x,\] \[AM = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} ,\] \[BM = \sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} .\]

Như vậy, hàm số \(f(x)\) được xác định bằng tổng quãng đường \(AM\) và \(BM:\)

  \[f(x) = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} + \sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} ,\] \[x \in [0;492].\]

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) để có quãng đường ngắn nhất,

từ đó xác định vị trí điểm \(M.\)

Ta có đạo hàm:

  \[f'(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} - \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} }}.\]

Giải phương trình \(f'(x) = 0\):

            \[\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} = \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} }}.\]

Bình phương hai vế:

        \[{x^2}({(492 - x)^2} + {487^2}) = {(492 - x)^2}({x^2} + {118^2}).\]

Suy ra:

                                 \[{487^2}{x^2} = {118^2}{(492 - x)^2}.\]

Với \(0 \le x \le 492\), ta được:

                                                \[487x = 118(492 - x)\]

                             \[ \Rightarrow x = \frac{{58056}}{{605}}.\]

Hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;492} \right].\)

So sánh các giá trị:

    \[f(0),\] \[f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right),\] \[f(492).\]

ta thấy \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại

                            \[x = \frac{{58056}}{{605}} \approx 95,96.\]

Giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) là:

                      \[f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right) \approx 779,8\;{\rm{m}}.\]

Đáp án cần chọn: B.