Cho hai vị trí A , B cách nhau 615 m , cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118 m và 487 m . Một người đi từ A đến bờ sông
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giải chi tiết:
Giả sử người đó đi từ \(A\) đến \(M\) để lấy nước và đi từ \(M\) về \(B.\) Dễ dàng tính được \(BD = 369,\)\[EF = 492.\] Ta đặt \(EM = x,\) khi đó:
Ta có: \[MF = 492 - x,\] \[AM = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} ,\] \[BM = \sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} .\]
Như vậy, hàm số \(f(x)\) được xác định bằng tổng quãng đường \(AM\) và \(BM:\)
\[f(x) = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} + \sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} ,\] \[x \in [0;492].\]
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) để có quãng đường ngắn nhất,
từ đó xác định vị trí điểm \(M.\)
Ta có đạo hàm:
\[f'(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} - \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} }}.\]
Giải phương trình \(f'(x) = 0\):
\[\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} = \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} }}.\]
Bình phương hai vế:
\[{x^2}({(492 - x)^2} + {487^2}) = {(492 - x)^2}({x^2} + {118^2}).\]
Suy ra:
\[{487^2}{x^2} = {118^2}{(492 - x)^2}.\]
Với \(0 \le x \le 492\), ta được:
\[487x = 118(492 - x)\]
\[ \Rightarrow x = \frac{{58056}}{{605}}.\]
Hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;492} \right].\)
So sánh các giá trị:
\[f(0),\] \[f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right),\] \[f(492).\]
ta thấy \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại
\[x = \frac{{58056}}{{605}} \approx 95,96.\]
Giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) là:
\[f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right) \approx 779,8\;{\rm{m}}.\]
Đáp án cần chọn: B.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập