Xét hàm số \(f(t) = \frac{{{9^t}}}{{{9^t} + {m^2}}}\) với \(m\) là tham số thực. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) sao cho \(f\left( x \right) + f\left( y \right) = 1\) với mọi số thực \(x,y\) thỏa mãn \({e^{x + y}} \le e(x + y).\) Tìm số phần tử của \(S.\) 

Giải chi tiết:

Cách 1: Đặt \(t = x + y,\) theo giả thiết:

\({e^t} \le et \Rightarrow et > 0 \Rightarrow t > 0.\)

Ta có: \({e^t} \le et \Leftrightarrow {e^{t - 1}} \le t \Leftrightarrow {e^{t - 1}} - t \le 0.\)

Xét hàm số \(g(t) = {e^{t - 1}} - t,{\rm{ }}\)với \(t > 0.\)

\(g'(t) = {e^{t - 1}} - 1;g'(t) = 0 \Leftrightarrow {e^{t - 1}} = 1 \Leftrightarrow t = 1.\)

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta có \({e^{t - 1}} - t \ge 0,\forall t > 0.\)

Do đó: \({e^{t - 1}} - t \le 0 \Leftrightarrow {e^{t - 1}} - t = 0 \Leftrightarrow t = 1.\)

Vậy \(x + y = 1.\)

Khi đó:  \(f(x) + f(y) = 1 \Leftrightarrow \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + {m^2}}} + \frac{{{9^y}}}{{{9^y} + {m^2}}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{9^x}({9^y} + {m^2}) + {9^y}({9^x} + {m^2})}}{{({9^x} + {m^2})({9^y} + {m^2})}} = 1\)

\( \Leftrightarrow {9^{x + y}} + {m^2}({9^x} + {9^y}) + {9^{x + y}} = {9^{x + y}} + {m^2}({9^x} + {9^y}) + {m^4}\)

\( \Leftrightarrow {9^{x + y}} = {m^4} \Leftrightarrow {m^4} = {9^1} = 9 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 .\)

Vậy  \(S = \{ \sqrt 3 ; - \sqrt 3 \} ,\) tập \(S\) có \(2\) phần tử.

Cách 2: Sử dụng TABLE cho hàm số \(f\left( X \right) = {e^X} - {\rm{eX}}\) với \(START = - 9,\)\(END = 9,\) \(STEP = 1;\)

Nhìn các bảng trên, ta thấy:

\(f(x) = {e^x} - ex \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}{\rm{ v\`a }}f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)

Khi đó \({e^x} \ge ex,\forall x \in \mathbb{R}.\)và \({e^{x + y}} \ge e(x + y),\forall x,y \in \mathbb{R}.\)

Suy ra:

\({e^{x + y}} \le e(x + y) \Leftrightarrow {e^{x + y}} = e(x + y) \Leftrightarrow x + y = 1.\)

Từ đó:

\[f\left( x \right){\rm{ }} + {\rm{ }}f\left( y \right){\rm{ }}\& = {\rm{ }}f\left( x \right){\rm{ }} + {\rm{ }}f\left( {1 - x} \right){\rm{ }}\]

\( = \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + {m^2}}} + \frac{{{9^{1 - x}}}}{{{9^{1 - x}} + {m^2}}}\)

\( = \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + {m^2}}} + \frac{{\frac{9}{{{9^x}}}}}{{\frac{9}{{{9^x}}} + {m^2}}}\)

\( = \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + {m^2}}} + \frac{9}{{9 + {9^x}{m^2}}}.\)

Để \(f\left( x \right) + f\left( y \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + {m^2}}} + \frac{9}{{9 + {9^x}{m^2}}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + {m^2}}} = 1 - \frac{9}{{9 + {9^x}{m^2}}} = \frac{{{9^x}{m^2}}}{{9 + {9^x}{m^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{9^x} + {m^2}}} = \frac{{{m^2}}}{{9 + {9^x}{m^2}}}\)

\( \Leftrightarrow 9 + {9^x}{m^2} = {m^2}({9^x} + {m^2})\)

\( \Leftrightarrow {m^4} = 9 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 .\)

Vậy \(S = \left\{ {\sqrt 3 ; - \sqrt 3 } \right\},\)tập \(S\) có \(2\) phần tử.

Đáp án cần chọn là: B