Cho hàm số \(f(x) = {x^4} + 4m{x^2} - 2{m^2} + 24.\)Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in ( - 50;50)\)để hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\)có \(3\) điểm cực trị. 

Giải chi tiết:

Ta có: \(f'(x) = 4{x^3} + 8mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = - 2m\end{array} \right.\)

TH1: Nếu \( - 2m > 0 \Leftrightarrow m < 0\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(3\) điểm cực trị trong đó có \(1\) cực đại là \(x = 0\)

\( \Rightarrow \)Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có \(2\) nghiệm bội lẻ \( \Rightarrow \)Loại.

TH2: Nếu \( - 2m < 0 \Leftrightarrow m > 0\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(1\) điểm cực trị duy nhất là \(x = 0.\)

\( \Rightarrow \)\(f\left( x \right) = 0\) phải có \(2\) nghiệm bội lẻ.

\(f(x) = 0 \Leftrightarrow {x^4} + 4m{x^2} - 2{m^2} + 24 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^4} + 4m{x^2} + 4{m^2} = 6{m^2} - 24\)   

\( \Leftrightarrow {({x^2} + 2m)^2} = 6{m^2} - 24\quad \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6{m^2} - 24 > 0\\{x^2} + 2m > 0\left( {do\,m > 0} \right)\\{x^2} + 2m = \sqrt {6{m^2} - 24} \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6{m^2} - 24 > 0\\\sqrt {6{m^2} - 24} - 2m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6{m^2} - 24 > 0\\\sqrt {6{m^2} - 24} > 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6{m^2} - 24 > 0\\6{m^2} - 24 > 4{m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} > 4\\{m^2} > 12\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} > 12\)

\( \Leftrightarrow m > 2\sqrt 3 \left( {m > 0} \right)\)

\(m \in ( - 50;50);m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow \)\(m \in \{ 4;5; \ldots ;49\} \)

Vậy có \(46\) giá trị thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D