Cho hàm số \(f(x)\) có ba điểm cực trị là \( - 2; - 1\) và \(1.\) Gọi Conversion là hàm số bậc hai đạt cực trị tại điểm \( - 2\) và có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right).\]Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) bằng \(\frac{A}{5}.\)Giá trị của \(A\) bằng:

Đáp án đúng là: ___

Giải chi tiết:

Ta có: \(f'(x) = k(x + 2)(x + 1)(x - 1) = k({x^3} + 2{x^2} - x - 2)\)

\(f(x) = k\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 2x + C} \right).\)

Đồng nhất hệ số \({x^4}\)ta thấy \(3 = \frac{k}{4} \Leftrightarrow k = 12.\)

\( \Rightarrow f(x) = 3{x^4} + 8{x^3} - 6{x^2} - 24x + d.\)

Xét \(g(x) = m{x^3} + n{x^2} + px + q \Rightarrow g'(x) = 3m{x^2} + 2nx + p.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g( - 2) = 8 + d}\\{g( - 1) = 13 + d}\\{g(1) = - 19 + d}\\{g'( - 2) = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 8m + 4n - 2p + q = 8 + d}\\{ - m + n - p + q = 13 + d}\\{m + n + p + q = - 19 + d}\\{12m - 4n + p = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - 4}\\{n = - 15}\\{p = - 12}\\{q = 12 + d}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow y = - 4{x^3} - 15{x^2} - 12x + 12 + d\)

Xét \(f(x) - g(x) = 0 \Leftrightarrow 3{x^4} + 12{x^3} + 9{x^2} - 12x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\\x = - 2\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là

\(S = \int_{ - 2}^1 | f(x) - g(x)|dx = \int_{ - 2}^1 | 3{x^4} + 12{x^3} + 9{x^2} - 12x - 12|dx = \frac{{87}}{5}\)

Đáp án cần điền là: \(87.\)