Cho ba hình cầu tiếp xúc ngoài nhau từng đôi một và cùng tiếp xúc với một mặt phẳng. Các tiếp điểm của các hình cầu trên mặt phẳng lập thành tam giác có các cạnh bằng \(4,2\) và \(3.\) Tích bán kính của ba hình cầu trên bằng

Giải chi tiết:

Gọi \({O_1},{O_2},{O_3}\) lần lượt là tâm của \(3\) mặt cầu và \(A,B,C\) lần lượt là hình chiếu của \(3\) tâm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đã cho.

Không mất tính tổng quát, gọi bán kính của \(3\) mặt cầu lần lượt là \({R_1};{R_2};{R_3}.\)

Dễ thấy \({O_1}A \bot (\alpha ),{O_2}B \bot (\alpha ),{O_3}C \bot (\alpha )\) và \({O_1}A = {R_1},{O_2}B = {R_2},{O_3}C = {R_3}.\)

Xét hình thang vuông \({O_1}AB{O_2}\) vuông tại \(A\) và \(B.\)

Từ \({O_2}\) kẻ \({O_2}H \bot A{O_1}\)

Suy ra \(AH = {R_2},{O_1}H = |{R_1} - {R_2}|,{O_2}H = AB\)

Mà \(({O_1})\) tiếp xúc với \(({O_2})\) nên \({O_1}{O_2} = {R_1} + R{}_2.\)

Xét tam giác vuông \({O_1}{O_2}H\)ta có \({O_1}O_2^2 = {O_1}{H^2} + A{B^2}\) hay

\({({R_1} + {R_2})^2} = {({R_1} - {R_2})^2} + A{B^2}.\)

Suy ra \({R_1} \cdot {R_2} = \frac{{A{B^2}}}{4}.\)

Tương tự \({R_2} \cdot {R_3} = \frac{{B{C^2}}}{4},{R_1} \cdot {R_3} = \frac{{A{C^2}}}{4}.\)

Do đó \({({R_1} \cdot {R_2} \cdot {R_3})^2} = \frac{{{3^2} \cdot {2^2} \cdot {4^2}}}{{4 \cdot 4 \cdot 4}} = 9\) hay \({R_1} \cdot {R_2} \cdot {R_3} = 3.\)

Đáp án cần chọn là: D