Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a,\) tồn tại ít nhất \(8\) số nguyên \(b \in ( - 10;10)\)thỏa mãn: \({5^{{a^2} - 2a - 3 + b}} \le {3^{b + a}} + 598.\)

Đáp án đúng là: __

Giải chi tiết:

Ta có: \({5^{{a^2} - 2a - 3 + b}} \le {3^{b + a}} + 598 \Leftrightarrow {5^{{a^2} - 2a - 3 + b}} - {3^{b + a}} - 598 \le 0\)

\( \Leftrightarrow {5^{{a^2} - 3a - 3}} - \frac{{{3^{b + a}}}}{{{5^{b + a}}}} - \frac{{598}}{{{5^{b + a}}}} \le 0\)

\( \Leftrightarrow - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{b + a}} - 598 \cdot {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{b + a}} + {5^{{a^2} - 3a - 3}} \le 0\)

Xét hàm số \(f(b) = - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{b + a}} - 598 \cdot {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{b + a}} + {5^{{a^2} - 3a - 3}},b \in ( - 10;10).\)

Có: \(f'(b) = - \ln \left( {\frac{3}{5}} \right) \cdot {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{b + a}} - 598\ln \left( {\frac{1}{5}} \right) \cdot {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{b + a}} > 0\quad \forall b \in ( - 10;10)\)

Do đó \(f\left( b \right)\) đồng biến.

Vì \(b \in ( - 10;10)\) nên để \(f(b) \le 0\) có ít nhất \(8\) giá trị nguyên thỏa mãn thì:

\(f( - 2) \le 0 \Leftrightarrow {5^{{a^2} - 2a - 3 - 2}} \le {3^{ - 2 + a}} + 598\)

\( \Rightarrow {5^{{a^2} - 2a - 3 - 2}} - {3^{ - 2 + a}} - 598 \le 0\)

Khảo sát hàm số \(g(a) = {5^{{a^2} - 2a - 5}} - {3^{ - 2 + a}} - 598.\)

Ta thấy \(g'(a) = 0\) tại đúng \(1\) điểm thuộc khoảng \(\left( {3;4} \right)\) (Dùng Casio tìm nghiệm).

Sử dụng chức năng TABLE với \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \{ - 2; - 1;0;1;2;3;4\} .\)

Vậy có \(7\) giá trị nguyên của \(a.\)

Đáp án cần điền là: 7