Giá trị của giới hạn \(L = \lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) \ldots \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\) bằng \(\frac{a}{b}\) (phân số tối giản). Khi đó, tổng \(a + b\) bằng:

Đáp án đúng là: __

Giải chi tiết:

Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với

\({u_n} = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) \ldots \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right),n \ge 2,n \in \mathbb{N}.\)

Ta có:

\({u_2} = 1 - \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{3}{4} = \frac{{2 + 1}}{{2 \cdot 2}}\)

\({u_3} = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{4}{6} = \frac{{3 + 1}}{{2 \cdot 3}}\)

\({u_4} = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{4^2}}}} \right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{{15}}{{16}} = \frac{5}{8} = \frac{{4 + 1}}{{2 \cdot 4}}\)

\({u_n} = \frac{{n + 1}}{{2n}}.\)

Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp quy nạp để khẳng định

\({u_n} = \frac{{n + 1}}{{2n}},\forall n \ge 2\)

Khi đó \(\lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) \ldots \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right] = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}.\)

Vậy \(a = 1,\)\(b = 2\) nên \(a + b = 3.\)

Đáp án cần điền là: \(3.\)