Trong không gian với hệ trục tọa độ \[{\rm{Ox}}yz,\] cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \(\left( S \right)\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2022.\) Có ........ điểm \(M\left( {a,b,c} \right)\) với \(a + b + c > 0\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại \(M\) và cắt các trục \[{\rm{Ox}},Oy,Oz\] lần lượt tại \(A,B,C\) có thể tích khối tứ diện \(OABC\) là nhỏ nhất.

Đáp án đúng là: __

Giải chi tiết:

Gọi \(A\left( {m;0;0} \right),\)\(B\left( {0;n;0} \right),\)\(C\left( {0;0;p} \right).\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1.\)

Điểm \(M \in (ABC)\)nên \(\frac{a}{m} + \frac{b}{n} + \frac{c}{p} = 1\quad (1).\)

Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nên

\(d[O,(ABC)] = R\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} }} = \sqrt {2022} \)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{2022}} = \frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}} \ge \frac{3}{{\sqrt[3]{{{{(mnp)}^2}}}}}\)

\( \Leftrightarrow |mnp| \ge \sqrt {{{6066}^3}} \)

Thể tích \(OABC\) là \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}|mnp| \ge \frac{{\sqrt {{{6066}^3}} }}{6}.\)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(|m| = |n| = |p| = \sqrt {6066} .\)

Suy ra\(M \in (d):|x| = |y| = |z| \Rightarrow |a| = |b| = |c|\)và \(a + b + c > 0.\)

Vậy có \(4\) điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần điền là: 4