Tại một xí nghiệp, công thức \(P\left( t \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{3}}}\) được dùng để tính giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc máy sau thời gian \(t\) (tính theo năm) kể từ khi đưa vào sử dụng.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Hàm số xác định khi \(5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}\). Do đó hàm số có tập xác định \(D = \left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

b) Với \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\); \({x_1} < {x_2}\)\( \Rightarrow 5{x_1} - 3 < 5{x_2} - 3\)\( \Rightarrow {\log _3}\left( {5{x_1} - 3} \right) < {\log _3}\left( {5{x_2} - 3} \right)\).

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

c) Với \(x = 2\) thì \(y = {\log _3}7\).

Vậy đồ thị hàm số qua điểm \(\left( {2;{{\log }_3}7} \right)\) và không đi qua điểm \(M\).

d) Do hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là \(f\left( {\frac{{12}}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{{12}}{5} - 3} \right) = 2\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là \(f\left( {\frac{4}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{4}{5} - 3} \right) = 0\).

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là 2.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) \(Q = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}\)\( = 3{\log _a}b + \frac{6}{2}{\log _a}b\)\( = 6{\log _a}b\).

b) \(P = \frac{{{{\log }_a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) - {{\log }_b}\left( {\frac{{{b^3}}}{{{a^2}}}} \right)}}{{\log _a^2b + 1}}\)\[ = \frac{{3{{\log }_a}a + 2{{\log }_a}b - 3{{\log }_b}b + 2{{\log }_b}a}}{{\log _a^2b + 1}}\]

\[ = \frac{{2{{\log }_a}b + \frac{2}{{{{\log }_a}b}}}}{{\log _a^2b + 1}}\]\[ = \frac{{2\left( {\log _a^2b + 1} \right)}}{{{{\log }_a}b\left( {\log _a^2b + 1} \right)}} = \frac{2}{{{{\log }_a}b}} = 2{\log _b}a\].

c) \(Q = 6{\log _a}b \ne 3P = 6{\log _b}a\).

d) \(Q.P = 6{\log _a}b.\frac{2}{{{{\log }_a}b}} = 12\).