Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a\), \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Tam giác \(SAC\) đều, tam giác \(SBD\) cân tại \(S\). Khi đó:

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Tam giác \(SAC\) đều có \(O\) là trung điểm \(AC\) nên \(SO \bot AC(1)\);

Tam giác \(SBD\) cân tại \(S\) có \(O\) là trung điểm \(BD\) nên \(SO \bot BD\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(SO \bot (ABCD)\).

Mặt khác \(SO\) chứa trong hai mặt phẳng \((SAC),(SBD)\) nên \((SAC) \bot (ABCD)\), \((SBD) \bot (ABCD)\).

b) Vì \((SBD) \bot (ABCD)\) nên \(\left( {(SBD),(ABCD)} \right) = 90^\circ \).

c) Tam giác \(SAC\) đều nên \(SO = \frac{{AC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

d) Các tam giác \(ABC,ACD\) lần lượt cân tại \(B\) và \(D\), mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = 60^\circ \) nên hai tam giác \(ABC,ACD\) đều cạnh \(a\).

Kẻ đường cao \(OM\) của tam giác \(OCD\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot OM}\\{CD \bot SO}\end{array} \Rightarrow CD \bot (SOM) \Rightarrow CD \bot SM} \right.\).

Khi đó:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SCD) \cap (ABCD) = CD}\\{OM \bot CD,SM \bot CD}\\{OM \subset (ABCD),SM \subset (SCD)}\end{array} \Rightarrow ((SCD),(ABCD)) = (SM,OM) = \widehat {SMO}.} \right.\]

Ta có: \(OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{a}{2},OD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác \(OCD\) vuông tại \(O\), đường cao \(OM\) nên \(\frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{C^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}}\)

\( \Rightarrow OM = \frac{{OC \cdot OD}}{{\sqrt {O{C^2} + O{D^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)

Tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có: \(\tan \widehat {SMO} = \frac{{SO}}{{OM}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}} = 2 \Rightarrow \widehat {SMO} \approx 63,43^\circ \).

Vậy \(((SCD),(ABCD)) = \widehat {SMO} \approx 63,43^\circ \).