Hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số đa thức bậc ba và parabol \(\left( P \right)\) có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm như hình vẽ có diện tích bằng \(\frac{a}{b}(a,b \in \mathbb{Z};(a,b) = 1).\)Giá trị của biểu thức \(a - 3b\) bằng bao nhiêu?

Đáp án đúng là: __

Đáp án đúng là: \(1.\)

Giải chi tiết:

Gọi \(\left( C \right):\) \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d{\mkern 1mu} (a \ne 0)\)

Do \(\left( C \right)\) cắt trục \(Oy\) tại điểm có tung độ bằng \(2\) nên \(d = 2\)

Vì \(\left( C \right)\) đi qua \(3\) điểm \(A\left( { - 1; - 2} \right),\,\,B\left( {1;0} \right)\) và \(C\left( {2; - 2} \right)\) nên ta được hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - a + b - c = - 4}\\{a + b + c = - 2}\\{4a + 2b + c = - 2}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = - 3}\\{c = 0}\end{array}} \right.\)

Do đó \(\left( C \right):y = {x^3} - 3{x^2} + 2.\)

Gọi \(\left( P \right):y = m{x^2} + nx + r{\mkern 1mu} (m \ne 0)\)

Do \(\left( P \right)\) đi qua \(3\) điểm \(A\left( { - 1; - 2} \right),\,\,O\left( {0;0} \right)\) và \(C\left( {2; - 2} \right)\) nên ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - n + r = - 2}\\{r = 0}\\{4m + 2n + r = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - 1}\\{r = 0}\\{n = 1}\end{array}} \right..\)

Do đó \(\left( P \right):y = - {x^2} + x\)

Vậy

\( \Rightarrow a = 37,b = 12 \Rightarrow a - 3b = 1.\)

Đáp án cần điền là: 1