Trong trận đấu bóng đá giữa \(2\) đội Real madrid và Barcelona, trọng tài cho đội Barcelona được hưởng một quả Penalty. Cầu thủ sút phạt ngẫu nhiên vào \(1\) trong bốn vị trí \(1,\,\,2,\,\,3,\,\,4\) và thủ môn bay người cản phá ngẫu nhiên đến \(1\) trong \(4\) vị trí \(1,\,\,2,\,\,3,\,\,4\) với xác suất như nhau. Biết nếu cầu thủ sút và thủ môn bay người cùng vào vị trí \(1\) hoặc \(2\) thì thủ môn cản phá được cú sút đó, nếu cùng vào vị trí \(3\) hoặc \(4\) thì xác suất cản phá thành công là \(50\% .\) Tính xác suất của biến cố "cú sút đó không vào lưới"?

Giải chi tiết:

Cách 1.

• Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 4.4 = 16.\)

Gọi biến cố \(A\) là "Cú sút đó không vào lưới"

Khi đó biến cố \(\bar A\) là “Cú sút đó vào lưới”

Số phần tử của \(n\left( {\bar A} \right)\) là

• Trường hợp 1. Cầu thủ sút vào vị trí \(1\) thủ môn bay vào \(1\) trong \(3\) vị trí còn lại

Cầu thủ có \(1\) cách sút.

Thủ môn có \(3\) cách bay người.

Do đó, có \(3\) khả năng xảy ra.

• Trường hợp 2. Cầu thủ sút vào vị trí \(2\) thủ môn bay vào \(1\) trong \(3\) vị trí còn lại

Cầu thủ có \(1\) cách sút.

Thủ môn có \(3\) cách bay người.

Do đó, có \(3\) khả năng xảy ra.

• Trường hợp 3. Cầu thủ sút vào vị trí \(3\) thủ môn bay vào \(1\) trong \(3\) vị trí còn lại

Cầu thủ có \(1\) cách sút.

Thủ môn có \(3\) cách bay người.

Do đó, có \(3\) khả năng xảy ra.

• Trường hợp 4. Cầu thủ sút vào vị trí \(4\) thủ môn bay vào \(1\) trong \(3\) vị trí còn lại

Cầu thủ có \(1\) cách sút.

Thủ môn có \(3\) cách bay người.

Do đó, có \(3\) khả năng xảy ra.

• Trường hợp 5. Cầu thủ sút vào vị trí \(3\) thủ môn bay vào vị trí \(3\)

Cầu thủ có \(1\) cách sút

Thủ môn có \(1\) cách bay người.

Do đó, có \(1\) khả năng xảy ra.

• Trường hợp 6. Cầu thủ sút vào vị trí \(4\) thủ môn bay vào vị trí \(4\)

Cầu thủ có \(1\) cách sút.

Thủ môn có \(1\) cách bay người.

Do đó, có \(1\) khả năng xảy ra.

Khi đó \(n\left( {\bar A} \right) = 4.3 + 2.1 = 14.\)

Xác suất xảy ra biến cố \(\bar A\) là \(p\left( {\bar A} \right) = \frac{{4.3}}{{16}} + \frac{{2.1}}{{16}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{13}}{{16}}.\)

Vậy \(p(A) = 1 - p\left( {\bar A} \right) = 1 - \frac{{13}}{{16}} = \frac{3}{{16}}.\)

Cách 2.

Gọi \({A_i}\) là biến cố "cầu thủ sút phạt vào vị trí \(i\)".

\({B_i}\) là biến cố "thủ môn bay người cản phá vào vị trí thứ \(i\)".

Và \(C\) là biến cố "Cú sút phạt không vào lưới".

Dễ thấy, \(P({A_i}) = P({B_i}) = \frac{1}{4}.\)

Ta có \(P(C) = P({A_1})P({B_1}) + P({A_2})P({B_2}) + \frac{1}{2}P({A_3})P({B_3}) + \frac{1}{2}P({A_4})P({B_4})\)

\( = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{3}{{16}}.\)

Đáp án cần chọn là: B