Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(\sqrt 2 a.\)Tam giác \(SAD\) cân tại \(S\)và mặt bên \(\left( {SAD} \right)\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{4}{3}{a^3}.\) Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right).\)

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\) \( \Rightarrow SH \bot AD.\)Mà \((SAD) \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot (ABCD).\)

Ta có: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}SH \cdot {(\sqrt 2 )^2} = \frac{{4{a^3}}}{3} \Rightarrow SH = 2a\)

Đặt hệ trục \[Oxyz\] như hình vẽ với \(a = 1.\)

\( \Rightarrow S(0;0;2),D\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2};0;0} \right),C\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2};\sqrt 2 ;0} \right),B\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\sqrt 2 ;0} \right)\)

Có: \(\overrightarrow {SD} = \left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2};0; - 2} \right);\overrightarrow {SC} = \left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2};\sqrt 2 ; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow [\overrightarrow {SD} ;\overrightarrow {SC} ] = (2\sqrt 2 ;0; - 1)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) là: \(2\sqrt 2 x - z + 2 = 0.\)

Ta có: \(d(B,(SCD)) = \frac{{\left| {2\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{{(2\sqrt 2 )}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{4}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: B