Cho dãy số \(({u_n})\)với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} =  - 2}\\{{u_n} = 3{u_{n - 1}} - 1,\forall n \ge 2}\end{array}} \right..\)Cho biết \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{3^n}}} = \frac{k}{6}.\) Giá trị của \(k\) bằng bao nhiêu?

Đáp án đúng là: ____

Đáp án đúng là: \( - 5.\)

Giải chi tiết:

Xét số \(a\) thoả mãn

\({u_n} - a = 3({u_{n - 1}} - a),\forall n \ge 2 \Leftrightarrow {u_n} = 3{u_{n - 1}} - 2a,\forall n \ge 2.\)

Suy ra \( - 2a = - 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}.\)

Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = - 2}\\{{u_n} - \frac{1}{2} = 3\left( {{u_{n - 1}} - \frac{1}{2}} \right),\forall n \ge 2}\end{array}} \right..\)

Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{1}{2} \Rightarrow {v_{n - 1}} = {u_{n - 1}} - \frac{1}{2},\forall n \ge 2\) và

\({v_1} = {u_1} - \frac{1}{2} = - 2 - \frac{1}{2} = - \frac{5}{2}.\)

Khi đó dãy \(({v_n})\) thoả mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = - \frac{5}{2}}\\{{v_n} = 3{v_{n - 1}},\forall n \ge 2}\end{array}} \right..\)

Ta thấy \(({v_n})\) là cấp số nhân với \({v_1} = - \frac{5}{2},\)công bội \(q = 3,\) suy ra

\({v_n} = - \frac{5}{2} \cdot {3^{n - 1}},\forall n \ge 1.\)

Do đó \({u_n} = {v_n} + \frac{1}{2} = - \frac{5}{2} \cdot {3^{n - 1}} + \frac{1}{2},\forall n \ge 1.\)

Vậy

\(\lim \frac{{{u_n}}}{{{3^n}}} = \lim \frac{{ - \frac{5}{2} \cdot {3^{n - 1}} + \frac{1}{2}}}{{{3^n}}} = \lim \left( { - \frac{5}{6} + \frac{1}{{2 \cdot {3^n}}}} \right) = - \frac{5}{6} \Rightarrow k = - 5.\)

Đáp án cần điền là: \( - 5.\)