Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(A.\) Hình chiếu vuông góc của \(S\)xuống mặt phẳng đáy là trung điểm của \(AO.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AD.\) Biết thể tích của hình chóp là \(V = \frac{{2{a^3}}}{3},\)góc giữa hai đường thẳng \(SM\) và \(CN\) gần nhất với giá trị nào sau đây?

Giải chi tiết:

Điều kiện cần để \(f\left( x \right)\) có giới hạn hữu hạn khi \(x \to + \infty \)là: \(\sqrt a + \sqrt b - 5 = 0.\)

Khi đó, giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 13}\\{\sqrt a + \sqrt b = 5}\end{array}} \right.\)ta được \(\left[ \begin{array}{l}a = 4,b = 9\\a = 9,b = 4\end{array} \right.\)

Với \(a = 4,b = 9\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {4{x^2} - 3} + \sqrt {9{x^2} + 12x + 3} - 5x)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ((\sqrt {4{x^2} - 3} - 2x) + (\sqrt {9{x^2} + 12x + 3} - 3x))\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ - 3}}{{\sqrt {4{x^2} - 3} + 2x}} + \frac{{12x + 3}}{{\sqrt {9{x^2} + 12x + 3} + 3x}}} \right)\)

\( = 0 + \frac{{12}}{{3 + 3}} = 2\)

Với \(a = 0,b = 4\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {9{x^2} - 3} + \sqrt {4{x^2} + 12x + 3} - 5x)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ((\sqrt {9{x^2} - 3} - 3x) + (\sqrt {4{x^2} + 12x + 3} - 2x))\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ - 3}}{{\sqrt {9{x^2} - 3} + 3x}} + \frac{{12x + 3}}{{\sqrt {4{x^2} + 12x + 3} + 2x}}} \right)\\ = 0 + \frac{{12}}{{2 + 2}} = 3\end{array}\)

Từ \(2\) trường hợp, ta suy ra giá trị nhỏ nhất của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\) là \(2\) khi \(a = 4,b = 9.\)

Đáp án: \(2.\)

Giải chi tiết:

Trung bình chiều cao các học sinh trong lớp là:

\(\bar x = 0,15 \cdot \frac{{145 + 155}}{2} + 0,3 \cdot \frac{{155 + 165}}{2} + 0,4 \cdot \frac{{165 + 175}}{2} + 0,15 \cdot \frac{{175 + 185}}{2} = 165,5{\rm{ (cm)}}\)

Đáp án cần chọn là: C