Một nhà máy lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp 65% chi tiết, máy thứ hai cung cấp 35% chi tiết. Khoảng 80% chi tiết do máy thứ nhất sản xuất là đạt tiêu chuẩn, còn 85% chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ nhà máy một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để sản phẩm đó do nhà máy thứ nhất sản xuất.

Đáp án đúng là: A

Gọi \(A\): “Lấy ra một bi một màu xanh ở hộp thứ nhất”

Gọi \(B\): “Hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là màu đỏ”

Ta có: \(P\left( A \right) = \frac{{C_3^1}}{{C_9^1}} = \frac{1}{3}\); \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{C_6^1}}{{C_9^1}} = \frac{2}{3}\)

\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_7^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{{21}}{{55}}\); \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{C_8^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{{28}}{{55}}\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

\(P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right).P\left( A \right) + P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right)\)\( = \frac{1}{3}.\frac{{21}}{{55}} + \frac{2}{3}.\frac{{28}}{{55}} = \frac{7}{{15}}\)

Xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ, ta áp dụng công thức Bayes

\(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}}\)\( = \frac{{\frac{{28}}{{55}}.\frac{2}{3}}}{{\frac{7}{{15}}}} = \frac{8}{{11}}\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Gọi \(A\): “Email nhận được là email rác”.

Và \(B\): “Email bị lọc đúng email rác của hệ thống lọc email rác”.

Vì \(5\% \) email nhận được là rác nên xác suất nhận được một email rác là \(P\left( A \right) = 5\% = 0,05\)

b) Xác suất email bị lọc của email rác là \(P\left( {\left. B \right|A} \right) = 95\% = 0,95.\)

c) Xác suất email nhận được không phải rác là \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,05 = 0,95\).

Xác suất email bị lọc của email không phải rác là \(P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 0,1.\)

Vậy xác suất chọn một email bị lọc bất kể là rác hay không là

\(P\left( B \right) = P\left( {B\left| A \right.} \right).P\left( A \right) + P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right).P\left( {\overline A } \right) = 0,95.0,05 + 0,1.0,95 = 0,1425.\)

d) Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc thực sự là email rác là

Công thức Bayes: \(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {B\mid A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,95.0,05}}{{0,1425}} = \frac{1}{3}.\)