Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2{\sin ^2}x + \sin x - 1\). Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2{\sin ^2}x + \sin x - 1 = 3{x^2} + 1 - \cos 2x + \sin x - 1\)\( = 3{x^2} + \sin x - \cos 2x\).

b) \(F\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} + \sin x - \cos 2x} \right)dx} = {x^3} - \cos x - \frac{{\sin 2x}}{2} + C\).

Suy ra \(a = 1;b = - 1;c = - \frac{1}{2}\). Do đó \(a + b + c = - \frac{1}{2}\).

c) Vì \(F\left( 0 \right) = 2\) nên \(F\left( 0 \right) = {0^3} - \cos 0 - \frac{{\sin 0}}{2} + C = 2 \Rightarrow C = 3\).

Do đó \(F\left( x \right) = {x^3} - \cos x - \frac{{\sin 2x}}{2} + 3\). Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^3} - \cos \frac{\pi }{2} - \frac{{\sin \pi }}{2} + 3 = \frac{{{\pi ^3}}}{8} + 3\).

d) \(g\left( x \right) = F\left( x \right) - {x^3} - \sin x\cos x\)\( = {x^3} - \cos x - \frac{{\sin 2x}}{2} + C - {x^3} - \sin x\cos x\)

\( = - \cos x - 2\sin x\cos x + C\).

Ta có \(g\left( { - x} \right) \ne g\left( x \right)\) nên hàm số \(g\left( x \right) = F\left( x \right) - {x^3} - \sin x\cos x\) không là hàm số chẵn.