Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\;\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\3{x^2} + 2\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\). Giả sử \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F(0) = 2\). Giá trị của \(F( - 1) + 2F(2)\) bằng bao nhiêu?

Trả lời: 21

Khi \(x \ge 1\) thì \(F(x) = \int f (x)dx = \int {(2x + 3)} dx = {x^2} + 3x + {C_1}\).

Khi \(x < 1\) thì \(F(x) = \int f (x)dx = \int {\left( {3{x^2} + 2} \right)} dx = {x^3} + 2x + {C_2}\).

Theo giả thiết \(F(0) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) = 5\) nên hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 1\).

Suy ra hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Do đó hàm số \(F(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F(x) \Rightarrow {C_1} + 4 = {C_2} + 3 \Rightarrow {C_1} = 1\).

Vậy \(F( - 1) + 2F(2) = - 3 + {C_2} + 2\left( {10 + {C_1}} \right) = 21\).