Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(A\left( {6,4,6} \right)\) và đường thẳng \[d:\;\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{3}.\]\((P)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\) sao cho khoảng cách từ \(A\) đến \((P)\) lớn nhất. Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng \[ax + by + cz - 3 = 0\]với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực. Tính \(a + b + c\).

Giải chi tiết:

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \((P)\) và đường thẳng \(d\).

        \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AH = d(A,(P)),}\\{AK = d(A,d).}\end{array}} \right.\]

Do \(AH \le AK\) nên \(A{H_{\max }} \Leftrightarrow AH = AK \Leftrightarrow H \equiv K\).

Khi đó mặt phẳng \((P)\) là mặt phẳng \((Q)\) đi qua \(K\) và có

                                                 \[\overrightarrow {AK} = \vec n.\]

Tham số hóa \(d\):

         \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2t,}\\{y = t,}\\{z = 1 + 3t.}\end{array}} \right.\]

Suy ra

                                    \[K(2 + 2t,{\mkern 1mu} t,{\mkern 1mu} 1 + 3t).\]

             \[\overrightarrow {AK} = (2t - 4,{\mkern 1mu} t - 4,{\mkern 1mu} 3t - 5).\]

Vì \(\overrightarrow {AK} \bot {\vec u_d} = (2,1,3)\) nên:

                                       \[\overrightarrow {AK} \cdot {\vec u_d} = 0\]

                                                  \[2(2t - 4) + (t - 4) + 3(3t - 5) = 0.\]

Giải ra:

                                                          \[t = \frac{{27}}{{14}}.\]

                                   \[K(6,2,7),\,\,\overrightarrow {AK} = (1, - 29,11).\]

Suy ra phương trình mặt phẳng:

                                                    \[(P):\; - x - 29y + 11z - 9 = 0.\]

Do đó

                                       \[a + b + c = - 1 - 29 + 11 = - \frac{{19}}{3}.\]

Đáp án cần chọn là: A.