Tính thể tích chứa được (dung tích) của một cái chén (bát), biết phần trong của nó có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục \(Ox\) hình phẳng giới hạn bởi đường \(y = \sqrt {2x} + 2\) và trục \(Ox\) (như hình vẽ), bát có độ sâu 5 cm, đơn vị trên trục là centimet.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\int {\left( {2x - 1} \right){\rm{d}}x = {x^2} - x + {C_1}} \]; \[\int {\left( {3{x^2} - 2} \right){\rm{d}}x} = {x^3} - 2x + {C_2}\].

Suy ra \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + {C_1}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 1\\{x^3} - 2x + {C_2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1\end{array} \right.\]

Mà ta có \[F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\]

Mặt khác hàm số \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] trên \[\mathbb{R}\] nên \[y = F\left( x \right)\] liên tục tại \[x = 1\]

Suy ra \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) \Rightarrow {C_1} = 1\].

Khi đó ta có: \[F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 1\\{x^3} - 2x + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = 3\\F\left( 2 \right) = 3\end{array} \right..\]

Vậy \[F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = 9\].

a) S, b) S, c) S, d) S

a) \(f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 2x + 1\).

b) Ta có \(f\left( 1 \right) = 3;f\left( 2 \right) = 5;f\left( 3 \right) = 7;...;f\left( {49} \right) = 99;f\left( {50} \right) = 101\).

Do đó

\(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {49} \right) + f\left( {50} \right) = 3 + 5 + 7 + ... + 99 + 101 = \frac{{\left( {3 + 101} \right).\left[ {\left( {101 - 3} \right):2 + 1} \right]}}{2} = 2600\).

c) Vì \(G\left( x \right) = F\left( x \right) + C\) mà \(G\left( 1 \right) = F\left( 1 \right) + C\)\( \Leftrightarrow 3 = - 4 + C\)\( \Leftrightarrow C = 7\).

Suy ra \(G\left( 4 \right) = F\left( 4 \right) + C = 14 + 7 = 21\).

d) Có \(f\left( {x - 1} \right) = 2\left( {x - 1} \right) + 1 = 2x - 1\).

Do đó \(H\left( {x - 1} \right) = \int {\left( {2x - 1} \right)dx} = {x^2} - x + C\).

Vì \(H\left( 0 \right) = 3\) nên \({1^2} - 1 + C = 3 \Rightarrow C = 3\). Do đó \(H\left( {x - 1} \right) = {x^2} - x + 3\).

Suy ra \(H\left( 2 \right) = {3^2} - 3 + 3 = 9,H\left( 4 \right) = {5^2} - 5 + 3 = 23\). Do đó \(H\left( 2 \right) - H\left( 4 \right) = - 14.\)