Cho lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D',\) có đáy \[ABCD\] là hình thoi cạnh \[a\], tâm \[O\] và \[\widehat {ABC} = 120^\circ \]. Góc giữa cạnh bên \[AA'\] và mặt đáy bằng \[60^\circ \]. Đỉnh \[A'\] cách đều các điểm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}D\]. Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\).

Mà \(AB \bot AD\) nên \(AB \bot \left( {SAD} \right)\).

b) Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Do đó \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \).

Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow \widehat {SCA} = 60^\circ \).

c) Gọi \(O = AC \cap BD\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(BD \bot AC\) hay \(BO \bot AC\)

Lại có \(SA \bot BO\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(BO \bot \left( {SAC} \right)\).

Do đó \(AO\) là hình chiếu của \(AB\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Suy ra \(\left( {AB,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {AB,AO} \right) = \widehat {BAO}\).

Vì \(\Delta BOA\) vuông cân tại \(O\) nên \(\widehat {BAO} = 45^\circ \).

Do đó \(\sin \widehat {BAO} = \sin 45^\circ  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

d) Hạ \(AH \bot SB\).

Dễ chứng minh được \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH \bot SB\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Do đó \(HC\)là hình chiếu của \(AC\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Suy ra \(\left( {AC,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {AC,HC} \right) = \widehat {ACH}\).

Xét \(\Delta SAB\) có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{6{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{7}{{6{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\).

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), có \(\sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}:a\sqrt 2  = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BA \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\BA \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow BA \bot \left( {SAD} \right)\)

\( \Rightarrow SA\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {SB,\left( {SAD} \right)} \right) = \left( {SB,SA} \right) = \widehat {BSA}\).