Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông. Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(H\) và \(I\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\). Khi đó:

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\).

Mà \(AB \bot AD\) nên \(AB \bot \left( {SAD} \right)\).

b) Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Do đó \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \).

Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow \widehat {SCA} = 60^\circ \).

c) Gọi \(O = AC \cap BD\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(BD \bot AC\) hay \(BO \bot AC\)

Lại có \(SA \bot BO\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(BO \bot \left( {SAC} \right)\).

Do đó \(AO\) là hình chiếu của \(AB\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Suy ra \(\left( {AB,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {AB,AO} \right) = \widehat {BAO}\).

Vì \(\Delta BOA\) vuông cân tại \(O\) nên \(\widehat {BAO} = 45^\circ \).

Do đó \(\sin \widehat {BAO} = \sin 45^\circ  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

d) Hạ \(AH \bot SB\).

Dễ chứng minh được \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH \bot SB\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Do đó \(HC\)là hình chiếu của \(AC\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Suy ra \(\left( {AC,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {AC,HC} \right) = \widehat {ACH}\).

Xét \(\Delta SAB\) có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{6{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{7}{{6{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\).

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), có \(\sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}:a\sqrt 2  = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \supset AN \Rightarrow AN \bot BD\).

Theo giả thiết: \(AN \bot SO\).

Vậy \(AN \bot \left( {SDO} \right)\).