Cho biểu thức \(P = \frac{{{a^{2 + \sqrt 3 }}.{{\left( {{a^{1 - \sqrt 3 }}} \right)}^{1 + \sqrt 3 }}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}}\), với \(a > 0\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

\({\log _a}x\) có nghĩa \(\forall x > 0\) \( \Rightarrow \) câu B sai

\({\log _a}a = 1\) \( \Rightarrow \) câu C sai.

\({\log _a}\left( {x.y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y;\forall x,y > 0\) \( \Rightarrow \) câu D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị, suy ra:

\({x_1}\) là nghiệm của phương trình \({\log _b}x = 3\) nên \({\log _b}{x_1} = 3 \Leftrightarrow {x_1} = {b^3}.\)

\({x_2}\) là nghiệm của phương trình \({\log _a}x = 3\) nên \({\log _a}{x_2} = 3 \Leftrightarrow {x_2} = {a^3}.\)

Do \({x_2} = 2{x_1} \Rightarrow {a^3} = 2.{b^3} \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \sqrt[3]{2}.\)