Gọi \(E\) là tập hợp tất cả các số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi số \(y\) có không quá \(4031\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \[\log _2^2x - 3y{\log _2}x + 2{y^2} < 0\]. Tập \(E\) có bao nhiêu phần tử?

Hướng dẫn giải

Trả lời: 726

Điều kiện: \(x > 0\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{7^x} - 49 > 0\\\log _3^2x - 7{\log _3}x + 6 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{7^x} > {7^2}\\1 < {\log _3}x < 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\3 < x < 729\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < x < 729\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{7^x} - 49 < 0\\\log _3^2x - 7{\log _3}x + 6 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{7^x} < {7^2}\\\left[ \begin{array}{l}{\log _3}x < 1\\{\log _3}x > 6\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\\left[ \begin{array}{l}x < 3\\x > 729\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x < 2\).

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {0;2} \right) \cup \left( {3;729} \right)\).

Vậy có tất cả 726 số nguyên thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có đồ thị các hàm số trên đều đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\).

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(y = {\log _c}x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

c) Vì hàm số \(y = {\log _c}x\)nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(0 < c < 1\).

Hàm số \(y = {\log _a}x;{\log _b}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(a > 1;b > 1\).

Với \(x > 1\) thì \({\log _b}x < {\log _a}x\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x > \frac{1}{{{{\log }_x}b}}\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x.{\log _x}b > 1\)\( \Leftrightarrow {\log _a}b > 1\)\( \Leftrightarrow b > a\).

Do đó \(0 < c < 1 < a < b\).

d) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}{x_1} = 3\\{\log _b}{x_2} = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {a^3}\\{x_2} = {b^3}\end{array} \right.\).

Mà \({x_2} = 2{x_1}\) nên \({b^3} = 2{a^3}\)\( \Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).