Cho số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(3C_{n + 1}^3 - 3A_n^2 = 52\left( {n - 1} \right)\). Tìm \(n\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 13

Điều kiện \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}\).

\(3C_{n + 1}^3 - 3A_n^2 = 52\left( {n - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow 3\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!\left( {n - 2} \right)!}} - 3\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 52\left( {n - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)n\left( {n - 1} \right)}}{2} - 3n\left( {n - 1} \right) = 52\left( {n - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 3n - 52} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} - 5n - 104} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow n = 1\) hoặc \(n = 13\) hoặc \(n = - 8\).

Kết hợp điều kiện ta có \(n = 13\).