Xác định parabol \[\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)\]biết rằng:

a) \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {1;1} \right),\) \(B\left( { - 1; - 3} \right)\) và \(O\left( {0;0} \right)\).

b) \(\left( P \right)\) cắt trục \(Ox\) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \( - 1\) và \(2\), cắt trục \(Oy\) tại điểm có tung độ bằng \( - 2\).

c)  \(\left( P \right)\)đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(4\) tại \(x = 2\) và có đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Vì \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {1;1} \right),{\rm{ }}B\left( { - 1; - 3} \right),{\rm{ }}O\left( {0;0} \right)\) nên có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\a - b + c = - 3\\c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\\c = 0\end{array} \right.\). Vậy \(\left( P \right):y = - {x^2} + 2x\).

b) Gọi \(A\) và \(B\) là hai giao điểm cuả \(\left( P \right)\) với trục \(Ox\) có hoành độ lần lượt là \( - 1\) và \(2\). Suy ra \(A\left( { - 1;0} \right)\), \(B\left( {2;0} \right)\).

Gọi \(C\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) với trục \(Oy\) có tung độ bằng \( - 2\). Suy ra \(C\left( {0; - 2} \right)\).

Theo giả thiết, \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a - b + c = 0\\4a + 2b + c = 0\\c = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\\c = - 2\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - x - 2\).

c) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(4\) tại \(x = 2\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\ - \frac{b}{{2a}} = 2\\ - \frac{\Delta }{{4a}} = 4\end{array} \right..\)

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\) nên ta có \(c = 6.\)

Từ đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\ - \frac{b}{{2a}} = 2\\ - \frac{\Delta }{{4a}} = 4\\c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\b = - 4a\\{b^2} - 4ac = - 16a\\c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\b = - 4a\\16{a^2} - 8a = 0\\c = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = - 2\\c = 6\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2} - 2x + 6\).