Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :x - y + 2 = 0\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là tâm của đường tròn.

Ta có vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {4;3} \right)\) và \(\overrightarrow {IB} = \left( {1 - a; - 3 - b} \right)\).

Theo giả thiết: \(\overrightarrow {IB} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \Rightarrow \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Rightarrow 4a + 3b + 5 = 0\) (1).

Ta lại có \(IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( {6 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 3b = - 5\\a - 3b = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 1\end{array} \right.\).

Suy ra \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 1} \right)}^2}} = 5\).

a) \(R = 5\) \( \Rightarrow \) đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\) bằng 10.

b) Ta có tâm \(I\left( { - 2;1} \right)\)\( \Rightarrow \) tung độ của tâm bằng 1.

c) \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 2} \right) - 4.1 - 15} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 5\).

d) Xét \(OI = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 5 < R = 5\).

Do đó điểm \(O\left( {0;0} \right)\) nằm bên trong đường tròn \(\left( C \right)\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,48

Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1; - 2} \right)\).

Suy ra vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1} \right)\).

Gọi \(d'\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\), khi đó \(d'\) nhận vectơ chỉ phương của \(d\) là một vectơ pháp tuyến \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {2;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d'\) là \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 2 = 0\).

Gọi \(N\) là giao điểm của \(d\) và \(d'\), tọa độ điểm \(N\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = - 1\\2x + y = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\).

Vậy hình chiếu vuông góc của \(M\) lên đường thẳng \(d\) là \(N\left( {\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right) \Rightarrow a.b = \frac{{12}}{{25}} = 0,48\).