Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :2x - y + 2024 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,25

Đường thẳng \({d_1}:\left( {2m - 1} \right)x + my - 10 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2m - 1;m} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:x + 2y + 6 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2} \right)\).

Hai đường thẳng \({d_1} \bot {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right) + 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4} = 0,25\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 10

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên \(d:3x + 4y + 8 = 0\).

Khi đó khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(d\) là \(BH = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\).

\(H\) là trung điểm của \(MN\) nên \(HM = 4\).

Suy ra bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là

\(R = \sqrt {B{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).

Vậy đường kính đường tròn \(\left( C \right)\) là 10.