Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - y - 3 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 2t\end{array} \right.\). Khi đó:

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \({\Delta _1}\).

\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({\Delta _2}\) nên nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\)làm một vectơ pháp tuyến.

b) Tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 2t\\x - y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 2t\\1 - t - 2 - 2t - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{3}\\y = - \frac{2}{3}\\t = - \frac{4}{3}\end{array} \right.\). Vậy tọa độ giao điểm là \(\left( {\frac{7}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).

c) \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).

d) Có \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 2; - 1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _3}\).

Vì \(\overrightarrow {{n_3}} = - \overrightarrow {{n_2}} \) nên 2 vectơ này cùng phương.

Lại có \(A\left( {1;2} \right) \in {\Delta _2}\) nhưng không thuộc \({\Delta _3}\).

Do đó \(d\left( {{\Delta _2},{\Delta _3}} \right) = d\left( {A,{\Delta _3}} \right) = \frac{{\left| { - 2.1 - 2 + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\).