a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \[\Delta \] đi qua \(A\left( { - 1;2} \right)\), nhận \(\overrightarrow n = \left( {2; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

b) Cho \[3\] đường thẳng \({d_1}\):\(3x - 2y + 5 = 0\), \({d_2}\):\(2x + 4y - 7 = 0\), \({d_3}\): \(3x + 4y - 1 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua giao điểm của \({d_1}\),\({d_2}\) và song song với \({d_3}\).

c) Cho đường thẳng \(d: - 3x + y - 3 = 0\) và điểm \(N\left( { - 2;4} \right)\). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của \(N\) trên \[d\].

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đường thẳng \[\Delta \] cần tìm là: \(2\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0\).

b) Tọa độ giao điểm \[M\] của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = - 5\\2x + 4y = 7\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{8}\\y = \frac{{31}}{{16}}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow M\left( { - \frac{3}{8};\frac{{31}}{{16}}} \right)\].

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) song song với \({d_3}\) qua \[M\left( { - \frac{3}{8};\frac{{31}}{{16}}} \right)\] là:

\(3\left( {x + \frac{3}{8}} \right) + 4\left( {y - \frac{{31}}{{16}}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 4y - \frac{{53}}{8} = 0\)\( \Leftrightarrow 24x + 32y - 53 = 0\).

c) Ta có phương trình đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(N\left( { - 2;4} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d: - 3x + y - 3 = 0\) có phương trình là \(d':x + 3y - 10 = 0\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của\(N\)trên \(d\). Khi đó tọa độ \(H\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + y - 3 = 0\\x + 3y - 10 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{10}}\\y = \frac{{33}}{{10}}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {\frac{1}{{10}};\frac{{33}}{{10}}} \right)\).