Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là \[12\,{\rm{m}}\], khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là \[3\,{\rm{m}}\]. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao \[2,8\,{\rm{m}}\] thì có chiều rộng không quá \[3\,{\rm{m}}\]. Hỏi chiếc xe có chiều cao \[2,8\,{\rm{m}}\] có thể đi qua hầm được không?

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,25

Đường thẳng \({d_1}:\left( {2m - 1} \right)x + my - 10 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2m - 1;m} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:x + 2y + 6 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2} \right)\).

Hai đường thẳng \({d_1} \bot {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right) + 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4} = 0,25\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,48

Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1; - 2} \right)\).

Suy ra vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1} \right)\).

Gọi \(d'\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\), khi đó \(d'\) nhận vectơ chỉ phương của \(d\) là một vectơ pháp tuyến \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {2;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d'\) là \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 2 = 0\).

Gọi \(N\) là giao điểm của \(d\) và \(d'\), tọa độ điểm \(N\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = - 1\\2x + y = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\).

Vậy hình chiếu vuông góc của \(M\) lên đường thẳng \(d\) là \(N\left( {\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right) \Rightarrow a.b = \frac{{12}}{{25}} = 0,48\).