Cho các số \[x,{\rm{ }}y\] thỏa mãn đẳng thức:  \({x^2} + {y^2} + xy + 3x - 3y + 9 = 0.\) Tính giá trị của biểu thức \(A = {\left( {x + y + 1} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^{2023}}\).

a) Tứ giác \(AMHN\) có:

• \(\widehat {MAN} = 90^\circ \) (do  vuông tại \(A\))

• \(\widehat {AMH} = 90^\circ \) (do \(MH \bot AB\))

• \(\widehat {HNA} = 90^\circ \) (do \(HN \bot AC\))

Do đó, tứ giác \(AMHN\) là hình chữ nhật.

b) Ta có: \(MH \bot AB;AC \bot AB\) suy ra \(MH\,{\rm{//}}\,AC\) nên \(MK\,{\rm{//}}\,AC\).

Do đó \(\widehat {KHI} = \widehat {ACI}\) (hai góc so le trong)

Xét \[\Delta HIK\] và \[\Delta CIA\] có:

\(\widehat {HIK} = \widehat {CIA}\) (hai góc đối đỉnh)

\[HI = IC\] (gt)

\(\widehat {KHI} = \widehat {ACI}\) (cmt)

Do đó \[\Delta HIK = \Delta CIA\] (g.c.g)

Suy ra \[AI = IK\] (hai cạnh tương ứng).

Xét tứ giác \[AHKC\] có \[AI = IK\] (cmt); \[HI = IC\] (gt)

Do đó, tứ giác \[AHKC\] là hình bình hành.

c) Xét tam giác \[AHC\] có \(MN\) cắt \(AH\) tại \(O\), \(CO\) cắt \(AK\) tại \(G\).

Khi đó, \(G\) là trọng tâm của tam giác \[AHC\] suy ra \(AI = \frac{3}{2}AG\) .

Mà \[AK = 2AI\] nên \[AK = 3AG\].

a) Tứ giác \(DMHN\) có:

• \(\widehat {MDN} = 90^\circ \) (do \(\Delta DEF\) vuông tại \(D\))

• \(\widehat {DMH} = 90^\circ \) (do \(MH \bot DE\))

• \(\widehat {HND} = 90^\circ \) (do \(HN \bot DF\)).

Do đó, tứ giác \(DMHN\) là hình chữ nhật.

b) Ta có: \(MH \bot DE;\,\,DF \bot DE\) suy ra \(MH\,{\rm{//}}\,DF\) nên \(MK\,{\rm{//}}\,DF\).

Do đó \(\widehat {KHI} = \widehat {DFI}\) (hai góc so le trong)

Xét \[\Delta HIK\] và \[\Delta FID\] có:

\(\widehat {HIK} = \widehat {FID}\) (hai góc đối đỉnh)

\[HI = IF\] (gt)

\(\widehat {KHI} = \widehat {DFI}\) (cmt)

Do đó \[\Delta HIK = \Delta FID\] (g.c.g)

Suy ra \[DI = IK\] (hai cạnh tương ứng).

Xét tứ giác \[DHKF\] có \[DI = IK\] (cmt); \[HI = IF\] (gt)

Do đó, tứ giác \[DHKF\] là hình bình hành.

c) Xét tam giác \[DHF\] có \(MN\) cắt \(DH\) tại \(O\), \(FO\) cắt \(DK\) tại \(G\).

Khi đó, \(G\) là trọng tâm của tam giác \[DHF\] suy ra \(DI = \frac{3}{2}DG\) .

Mà \[DK = 2DI\] nên \[DK = 3DG\].