Câu hỏi:

30/03/2026 33

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Biết \(AB = 3a\), \[AD = a\], \(SA = 2a.\)

a) Chứng minh \(CD \bot \left( {SAD} \right)\).

b) Vẽ \(AM \bot BD\) tại \(M\). Chứng minh \(BD \bot \left( {SAM} \right)\).

c) Tính số đo góc giữa đường thẳng \(AD\) và mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\).

d) Tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc tABCD). Biết AB = 3a, AD = a, SA = 2a. a) Chứng minh CD vuông góc (SAD). b) Vẽ AM vuông góc BD tại M. Chứng minh BD vuông góc (SAM) (ảnh 1)

a) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(CD \bot AD\).

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AM\\BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAM} \right)\).

c) Hình chiếu của \(A\) lên \(\left( {SAM} \right)\) là \(A\)

Hình chiếu của \(D\) lên \(\left( {SAM} \right)\) là \(M\) (do \(BD \bot \left( {SAM} \right)\) tại \(M\))

\( \Rightarrow \) Hình chiếu của \(AD\) lên \(\left( {SAM} \right)\) là \(AM\)

\( \Rightarrow \left( {AD,\left( {SAM} \right)} \right) = \left( {AD,AM} \right) = \widehat {MAD}\).

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A,AM\) là đường cao, ta có:\(AM = \frac{{AB.AD}}{{BD}} = \frac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}a\).

Xét \(\Delta AMD\)vuông tại \(M\), ta có \(\cos \widehat {MAD} = \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \widehat {MAD} \approx 18,43^\circ \).

d) \(O = AC \cap BD\)

\(CA \cap \left( {SBD} \right) = O\) \( \Rightarrow \frac{{d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{CO}}{{AO}} = 1\)

\( \Rightarrow d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\)

Vẽ \(AH \bot SM\) tại \(H\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot BD\left( {BD \bot \left( {SAM} \right)} \right)\\{\rm{Trong }}\left( {SBD} \right):{\rm{ }}SM \cap BD = M\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right)\) tại \(H\) \( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AH\).

Xét \(\Delta SAM\)vuông tại \(A,AH\) là đường cao, ta có: \(AH = \frac{{SA.AM}}{{SM}} = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{6}{7}a\).

Vậy \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AH = \frac{6}{7}a\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một lớp 20 học sinh trong đó có 12 bạn nam và 8 bạn nữ. Cô giáo chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên ra 3 bạn vào đội cờ đỏ.

a) Tính xác suất để cả 3 bạn đó đều là nam.

b) Tính xác suất để có ít nhất 1 bạn nữ.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Gọi biến cố \(A:\) “Cả 3 đều là nam”.

\[P\left( A \right) = \frac{{C_{12}^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{11}}{{57}}\].

b) Gọi biến cố \(B:\) “Có ít nhất một bạn nữ”

Xét biến cố đối \[\overline B \]”Không có bạn nữ nào” \[ \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = P\left( A \right)\]

\[ \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{{C_{12}^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{46}}{{57}}\].

Câu 2

Đội thanh niên xung kích có của một trường phổ thông có \[12\] học sinh, gồm \[5\] học sinh lớp \[10\]; \[4\] học sinh lớp \[11\] và \[3\] học sinh lớp \[12\]. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ. Tính xác suất của biến cố “\(4\) học sinh được chọn thuộc không quá \(2\) trong \(3\) lớp”.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi \(A\) là biến cố “\(4\) học sinh được chọn thuộc không quá \(2\) trong \(3\) lớp”

TH 1: \[4\] học sinh được chọn thuộc một lớp:

Lớp \[10\]: có \(C_5^4 = 5\) cách chọn.

Lớp \[11\]: có \(C_4^4 = 1\) cách chọn.

Trường hợp này có: \(6\) cách chọn.

TH 2: \[4\] học sinh được chọn thuộc hai lớp:

Lớp \[10\] và \[11\]: có \(C_9^4 - (C_5^4 + C_4^4) = 120\).

Lớp \[11\] và \[12\]: có \(C_7^4 - C_4^4 = 34\).

Lớp \[10\] và \[12\]: có \(C_8^4 - C_5^4 = 65\).

Trường hợp này có \[120 + 34 + 65 = 219\] cách chọn.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(6 + 219 = 225\).

Xác suất xảy ra biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{225}}{{C_{12}^4}} = \frac{5}{{11}}\).

Câu 3