Cho hàm số \(f\left( x \right) = {25^x} - {5^{1 + x}} - 6\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).

b) Ta có \(f\left( x \right) = {25^x} - {5^{1 + x}} - 6\)\( = {5^{2x}} - {5.5^x} - 6\)\( = \left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} - 6} \right)\).

c) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành là nghiệm của phương trình

\(f\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {5^x} - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow {5^x} = 6\)\( \Leftrightarrow x = {\log _5}6\).

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Do đó số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành bằng 1.

d) Ta có \(f\left( x \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} - 6} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow {5^x} \ge 6\)\( \Leftrightarrow x \ge {\log _5}6\)\( \Leftrightarrow x \ge {\log _5}2 + {\log _5}3\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S = \left[ {{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3; + \infty } \right)\).

Suy ra \(a = 2;b = 3\). Do đó \({e^{\ln a + 2\ln b}} = {e^{\ln 2 + 2\ln 3}}{e^{\ln 18}} = 18\).