Cho hai số dương \(a,b\) và \(a \ne 1\) thỏa mãn \({\log _a}b = 5\). Tính giá trị của \(P = {\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[5]{b}} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có đồ thị các hàm số trên đều đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\).

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(y = {\log _c}x\) nghịch biến trên khoảng .\(\left( {0; + \infty } \right)\)..

c) Vì hàm số \(y = {\log _c}x\)nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(0 < c < 1\).

Hàm số \(y = {\log _a}x;{\log _b}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(a > 1;b > 1\).

Với \(x > 1\) thì \({\log _b}x < {\log _a}x\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x > \frac{1}{{{{\log }_x}b}}\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x.{\log _x}b > 1\)\( \Leftrightarrow {\log _a}b > 1\)\( \Leftrightarrow b > a\).

Do đó \(0 < c < 1 < a < b\).

d) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}{x_1} = 3\\{\log _b}{x_2} = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {a^3}\\{x_2} = {b^3}\end{array} \right.\).

Mà \({x_2} = 2{x_1}\) nên \({b^3} = 2{a^3}\)\( \Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Điều kiện: \(5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}\).

Do đó tập xác định của hàm số là \(D = \left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

b) Vì \(a = 3 > 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

c) Thay \(x = 2\) vào hàm số ta có \(y = {\log _3}7\).

Do đó đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;{{\log }_3}7} \right)\).

d) Vì \(x \in \left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) hàm số đồng biến nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{4}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{4}{5} - 3} \right) = 0\);

\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{{12}}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{{12}}{5} - 3} \right) = 2\).

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\)  là \(0 + 2 = 2\).