Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vì \(a = \frac{1}{{\sqrt 3 }} < 1\) nên hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) Thay \(x = 3\) vào hàm số ta được \(y = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}3\)\( =  - 2{\log _3}3 =  - 2\).

c) Vì hàm số nghịch biến với \(x \in \left[ {\frac{1}{3};9} \right]\) nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{3};9} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\frac{1}{3} = 2\);

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{3};9} \right]} f\left( x \right) = f\left( 9 \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}9 =  - 4\).

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{1}{3};9} \right]\) là \( - 2\).

d) Ta có \(f\left( {\frac{1}{a}} \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\frac{1}{a} = 2{\log _3}a\); \(f\left( b \right) =  - 2\log b\).

Do đó \(2f\left( {\frac{1}{a}} \right) + f\left( b \right) = 4{\log _3}a - 2{\log _3}b\)\( = {\log _3}\frac{{{a^4}}}{{{b^2}}} = {\log _3}\frac{{{{81}^2}{b^2}}}{{{b^2}}} = {\log _3}{81^2} = 8\).