Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) đáy là tam giác ABC vuông tại A, \(AB = a,BC = a\sqrt 3 \), hình chiếu vuông góc của \(B'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với chân đường cao H kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC, góc tạo bởi \(AB'\) với \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' đáy là tam giác ABC vuông tại A,AB = a,BC = a căn bậc hai của 3 , hình chiếu vuông góc của B' trên mặt phẳng (ABC) trùng với chân đường cao H kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC (ảnh 1)

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \).

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a.a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)

Ta có \(B'H \bot \left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {AB',\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {B'AH} = 60^\circ \).

Xét tam giác ABC vuông tại A có: \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Xét tam giác \(AHB'\) vuông tại H có: \(B'H = AH.\tan \widehat {B'AH} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\tan 60^\circ = a\sqrt 2 \).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.B'H = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 = {a^3}\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số \(y = {x^2} + 2x - 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\)

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) thuộc \(\left( C \right)\).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0} = 0\) thuộc \(\left( C \right)\).

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ \({y_0} = - 1\) thuộc \(\left( C \right)\).

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \( - 4\).

e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(y = 1 - 3x\).

Lời giải

Hướng dẫn giải

Có \(y' = 2x + 2\).

a) Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) thuộc \(\left( C \right)\) là \(k = y'\left( 1 \right) = 4\).

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0} = 0\) thuộc \(\left( C \right)\) là \(y = y'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) + y\left( 0 \right) \Leftrightarrow y = 2x - 4\).

c) Với \[{y_0} = - 1 \Rightarrow y = x_0^2 + 2{x_0} - 4 = - 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 1}\\{{x_0} = - 3}\end{array}} \right.\].

Vậy có hai tiếp điểm thuộc \(\left( C \right)\) có tung độ \({y_0} = - 1\) là \(\left( {1; - 1} \right)\) và \(\left( { - 3; - 1} \right)\).

Nên ta có:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(\left( {1; - 1} \right)\)là \(y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + y\left( 1 \right) \Leftrightarrow y = 4x - 5\).

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(\left( { - 3; - 1} \right)\)là \(y = y'\left( { - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + y\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow y = - 4x - 13\).

d) Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\)với hệ số góc \(k = - 4\)

\( \Rightarrow y'\left( a \right) = - 4 \Leftrightarrow 2a + 2 = - 4 \Leftrightarrow a = - 3 \Rightarrow b = - 1\).

Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc \(k = - 4\)là \(y = - 4\left( {x + 3} \right) - 1 \Leftrightarrow y = - 4x - 13\).

e) Vì tiếp tuyến đó song song với đưởng thẳng \(y = 1 - 3x\)nên tiếp tuyến có hệ số góc \(k = - 3\)

Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\)với hệ số góc \(k = - 4\)

\( \Rightarrow y'\left( a \right) = - 3 \Leftrightarrow 2a + 2 = - 3 \Leftrightarrow a = - \frac{5}{2} \Rightarrow b = - \frac{{11}}{4}\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc \(k = - 3\)là \(y = - 3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - \frac{{11}}{4} \Leftrightarrow y = - 3x - \frac{{41}}{4}\).

Câu 2

Một lớp 20 học sinh trong đó có 12 bạn nam và 8 bạn nữ. Cô giáo chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên ra 3 bạn vào đội cờ đỏ.

a) Tính xác suất để cả 3 bạn đó đều là nam.

b) Tính xác suất để có ít nhất 1 bạn nữ.

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Gọi biến cố \(A:\) “Cả 3 đều là nam”.

\[P\left( A \right) = \frac{{C_{12}^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{11}}{{57}}\].

b) Gọi biến cố \(B:\) “Có ít nhất một bạn nữ”

Xét biến cố đối \[\overline B \]”Không có bạn nữ nào” \[ \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = P\left( A \right)\]

\[ \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{{C_{12}^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{46}}{{57}}\].

Câu 3