PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Tung đồng thời hai con xúc xắc khác nhau đều cân đối và đồng chất ba lần. Bằng cách cộng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc trong mỗi lần tung ta được một số ngẫu nhiên từ 2 đến 12. Gọi ba số này lần lượt là a, b và \(t\). Chọn ngẫu nhiên một tam giác có hai cạnh có độ dài là a, b và góc xen giữa chúng bằng \((t - 1)15\) độ. Xác suất để tam giác này là tam giác vuông bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 48

Gọi tổng các số ở mỗi cột là \[k\].

Vì cột \[1\] chỉ chứa \[1\] số nên \[k \le 9\].

Vì cột \[3\] chứa \[3\] số nguyên dương phân biệt, tổng nhỏ nhất của chúng là \[1 + 2 + 3 = 6\] nên \[k \ge 6\]

Ta xét các trường hợp của \[k\].

+) Trường hợp 1: \[k = 6\].

Cột \[1\] chứa số \[6\].

Cột \[3\] chứa các số \[1\], \[2\]¸\[3\].

Cột \[2\] có \[2\] khả năng là \[\left\{ {1;5} \right\}\] hoặc \[\left\{ {2;4} \right\}\]. Ta thấy số \[1\] và \[2\] đều đã ở cột \[3\] nên loại.

+) Trường hợp \[2\]: \[k = 7\].

Cột \[1\] chứa số \[7\].

Cột \[3\] phải chứa các số \[\left\{ {1;2;4} \right\}\].

Cột \[2\] có \[3\] khả năng là \[\left\{ {1;6} \right\}\], \[\left\{ {2;5} \right\}\], \[\left\{ {3;4} \right\}\]. Ta thấy nó đều chứa số ở cột \[3\] nên loại.

+) Trường hợp \[3\]: \[k = 8\]

Cột \[1\] chứa số \[8\].

Cột \[3\] có \[2\] khả năng là \[\left\{ {1;3;4} \right\}\] hoặc \[\left\{ {1;2;5} \right\}\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;3;4} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {2;5;6;7;9} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {2;6} \right\}\] có tổng bằng \[8\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;2;5} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {3;4;6;7;9} \right\}\], không có hai số nào có tổng bằng \[8\].

Ta có được \[1\] bộ số thỏa mãn.

+) Trường hợp \[4\]: \[k = 9\].

Cột \[1\] chứa số \[9\].

Cột \[3\] có \[3\] khả năng là \[\left\{ {1;2;6} \right\}\], \[\left\{ {1;3;5} \right\}\], \[\left\{ {2;3;4} \right\}\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;2;6} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {3;4;5;7;8} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {4;5} \right\}\] có tổng bằng \[9\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;3;5} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {2;4;6;7;8} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {2;7} \right\}\] có tổng bằng \[9\].

- Nếu chọn \[\left\{ {2;3;4} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {1;5;6;7;8} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {1;8} \right\}\] có tổng bằng \[9\].

Ta có được \[3\] bộ số thỏa mãn.

+) Với mỗi bộ số, sắp xếp vị trí các số trong mỗi cột.

Cột \[1\] có \[1!\] cách xếp.

Cột \[2\] có \[2!\] cách xếp.

Cột \[3\] có \[3!\] cách xếp.

+) Vậy ta có tổng cộng \[\left( {1 + 3} \right) \times 1! \times 2! \times 3! = 48\] cách điền số thỏa mãn ycbt.

a) Ta có:

\(s = 5 \Leftrightarrow \)\(10\sin \left( {10t - \frac{\pi }{2}} \right) = 5 \Leftrightarrow \)\(\sin \left( {10t - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \)\(10t - \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{6} + 2k\pi \) hoặc \(10t - \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi \)

Xét thời điểm dương nhỏ nhất.

Trường hợp 1: \(10t = \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{2} = \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \)\(t = \frac{\pi }{{15}}\)

Trường hợp 2: \(10t = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{\pi }{2} = \frac{{4\pi }}{3} \Leftrightarrow \)\(t = \frac{{2\pi }}{{15}}\)

Thời điểm đầu tiên là \(t = \frac{\pi }{{15}}\)

Trong đề cho \(\frac{{2\pi }}{{15}}\) nên Khẳng định a sai.

b) Vì \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên\( - 10 \le 10\sin \left( {10t - \frac{\pi }{2}} \right) \le 10\)

Giá trị nhỏ nhất là \( - 10\)

Do đề cho \( - 1\) nên Khẳng định b sai.

c) Hàm sin xác định với mọi \(t \in \mathbb{R}\)

Nên tập xác định là \(\mathbb{R}\)

Khẳng định c đúng.

d) Vị trí cân bằng \(s = 0\)

\(10\sin \left( {10t - \frac{\pi }{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \)\(\sin \left( {10t - \frac{\pi }{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \)\(10t - \frac{\pi }{2} = k\pi  \Leftrightarrow \)\(t = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}}\)

Trong 3 giây đầu tiên nên \(0 \le t = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}} \le 3 \Leftrightarrow  - 0,5 \le t \le 9,04\)

Suy ra \(t \in \left\{ {0,...,9} \right\}\) nên khẳng định d đúng