Trong hình vẽ sau đây, khi kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm \(O\) và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật \(A\) gắn ở đầu của lò xo dao động quanh \(O\). Tọa độ \(s\) \(cm\) của vật \(A\) trên trục \(Ox\) vào thời điểm \(t\) (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức \(s = 10\sin \left( {10t - \frac{\pi }{2}} \right)\). 

Chọn điểm \(M \in AD\) sao cho \(MP \bot AD\) tại \(M\), \(MQ \bot AD\) tại \(M\).

Khi đó \(\left[ {B,AD,C} \right] = \left[ {P,AD,Q} \right] = \widehat {PMQ}\).

Giả sử \(AM = a\). Xét \(\Delta MAQ\) vuông tại \(M\) ta có:

\(MQ = AM.\tan 45^\circ  = a\), \(AQ = \sqrt {A{M^2} + M{Q^2}}  = a\sqrt 2 \).

Xét \(\Delta MAP\) vuông tại \(M\) ta có: \(MP = AM.\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 \), \(AP = \sqrt {A{M^2} + M{P^2}}  = 2a\).

Xét \(\Delta APQ\) ta có: \(P{Q^2} = A{P^2} + A{Q^2} - 2.AP.AQ.\cos \widehat {PAQ} = \left( {6 - 2\sqrt 6 } \right){a^2}\).

Xét \(\Delta MPQ\), ta có: \(\cos \widehat {PMQ} = \frac{{M{Q^2} + M{P^2} - P{Q^2}}}{{2.MP.MQ}} = \frac{{3\sqrt 2  - \sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(\cos \alpha  = \cos \widehat {MPQ} \approx 0,84\).

Đáp án: 48

Gọi tổng các số ở mỗi cột là \[k\].

Vì cột \[1\] chỉ chứa \[1\] số nên \[k \le 9\].

Vì cột \[3\] chứa \[3\] số nguyên dương phân biệt, tổng nhỏ nhất của chúng là \[1 + 2 + 3 = 6\] nên \[k \ge 6\]

Ta xét các trường hợp của \[k\].

+) Trường hợp 1: \[k = 6\].

Cột \[1\] chứa số \[6\].

Cột \[3\] chứa các số \[1\], \[2\]¸\[3\].

Cột \[2\] có \[2\] khả năng là \[\left\{ {1;5} \right\}\] hoặc \[\left\{ {2;4} \right\}\]. Ta thấy số \[1\] và \[2\] đều đã ở cột \[3\] nên loại.

+) Trường hợp \[2\]: \[k = 7\].

Cột \[1\] chứa số \[7\].

Cột \[3\] phải chứa các số \[\left\{ {1;2;4} \right\}\].

Cột \[2\] có \[3\] khả năng là \[\left\{ {1;6} \right\}\], \[\left\{ {2;5} \right\}\], \[\left\{ {3;4} \right\}\]. Ta thấy nó đều chứa số ở cột \[3\] nên loại.

+) Trường hợp \[3\]: \[k = 8\]

Cột \[1\] chứa số \[8\].

Cột \[3\] có \[2\] khả năng là \[\left\{ {1;3;4} \right\}\] hoặc \[\left\{ {1;2;5} \right\}\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;3;4} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {2;5;6;7;9} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {2;6} \right\}\] có tổng bằng \[8\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;2;5} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {3;4;6;7;9} \right\}\], không có hai số nào có tổng bằng \[8\].

Ta có được \[1\] bộ số thỏa mãn.

+) Trường hợp \[4\]: \[k = 9\].

Cột \[1\] chứa số \[9\].

Cột \[3\] có \[3\] khả năng là \[\left\{ {1;2;6} \right\}\], \[\left\{ {1;3;5} \right\}\], \[\left\{ {2;3;4} \right\}\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;2;6} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {3;4;5;7;8} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {4;5} \right\}\] có tổng bằng \[9\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;3;5} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {2;4;6;7;8} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {2;7} \right\}\] có tổng bằng \[9\].

- Nếu chọn \[\left\{ {2;3;4} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {1;5;6;7;8} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {1;8} \right\}\] có tổng bằng \[9\].

Ta có được \[3\] bộ số thỏa mãn.

+) Với mỗi bộ số, sắp xếp vị trí các số trong mỗi cột.

Cột \[1\] có \[1!\] cách xếp.

Cột \[2\] có \[2!\] cách xếp.

Cột \[3\] có \[3!\] cách xếp.

+) Vậy ta có tổng cộng \[\left( {1 + 3} \right) \times 1! \times 2! \times 3! = 48\] cách điền số thỏa mãn ycbt.