Có bao nhiêu cách chọn sáu số từ chín số nguyên \[1\], \[2\], …, \[9\] và điền vào các ô của hình dưới đây (mỗi ô chỉ điền đúng một số) sao cho tổng các số ở mỗi cột (kể cả cột có một ô) bằng nhau?

Chọn điểm \(M \in AD\) sao cho \(MP \bot AD\) tại \(M\), \(MQ \bot AD\) tại \(M\).

Khi đó \(\left[ {B,AD,C} \right] = \left[ {P,AD,Q} \right] = \widehat {PMQ}\).

Giả sử \(AM = a\). Xét \(\Delta MAQ\) vuông tại \(M\) ta có:

\(MQ = AM.\tan 45^\circ  = a\), \(AQ = \sqrt {A{M^2} + M{Q^2}}  = a\sqrt 2 \).

Xét \(\Delta MAP\) vuông tại \(M\) ta có: \(MP = AM.\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 \), \(AP = \sqrt {A{M^2} + M{P^2}}  = 2a\).

Xét \(\Delta APQ\) ta có: \(P{Q^2} = A{P^2} + A{Q^2} - 2.AP.AQ.\cos \widehat {PAQ} = \left( {6 - 2\sqrt 6 } \right){a^2}\).

Xét \(\Delta MPQ\), ta có: \(\cos \widehat {PMQ} = \frac{{M{Q^2} + M{P^2} - P{Q^2}}}{{2.MP.MQ}} = \frac{{3\sqrt 2  - \sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(\cos \alpha  = \cos \widehat {MPQ} \approx 0,84\).

Đáp án: 20

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) sao cho gốc toạ độ là điểm \(B\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\), trục \(Ox\) trùng với tia \(BC\), trục \(Oy\) trùng với tia \(BA\), trục \(Oz\) trùng với tia \(BF\).

Theo bài ra ta có: \(AB = 6\,,\,AD = 8\,;\,DH = 10\), nên ta có:

\(C\,\left( {8\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,A\,\left( {0\,;\,6\,;\,0} \right)\,,\,D\,\left( {8\,;\,6\,;\,0} \right)\,,\,F\,\left( {0\,;\,0\,;\,10} \right)\,,\,G\,\left( {8\,;\,0\,;\,10} \right)\,,\,E\,\left( {0\,;\,6\,;\,10} \right)\,,\,H\,\left( {8\,;\,6\,;\,10} \right)\),

Vì \(M\) là trung điểm của \[AF\], nên \(M\left( {0\,;\,3\,;\,5} \right)\). Điểm \(I \in \left( {Oxy} \right)\, \Rightarrow \,I\,\left( {{x_0}\,;\,{y_0}\,;\,0} \right)\)

Nhận thấy \(M\) và \(G\) nằm cùng phía so với mặt phẳng \(\left( {Bxy} \right)\,\), nên ta lấy điểm \(M'\) đối xứng với điểm \(M\)qua mặt phẳng \(\left( {Bxy} \right)\,\), thì \(M'\,\left( {0\,;\,3\,;\, - 5} \right)\).

Khi đó: \(IM = IM'\,\) \( \Rightarrow IM + IG = IM' + IG \ge M'G\)

Vậy tổng \(IM' + IG\) nhỏ nhất khi \(IM' + IG = M'G\), suy ra ba điểm \(I\,,\,M'\,,\,G\) thẳng hàng. Vậy \(I\) là giao điểm của \(M'G\) với mặt phẳng \(\left( {Bxy} \right)\,\), \( \Rightarrow I\, \in M'G\,\,,\,\,I \in \left( {Bxy} \right)\).

* Tìm \(M\):

Phương trình tham số của đường thẳng \(M'G\) đi qua điểm \(M'\,\left( {0\,;\,3\,;\, - 5} \right)\), có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {M'G}  = \left( {8\,;\, - 3\,;\,15} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 8t\\y = 3 - 3t\\z =  - 5 + 15t\end{array} \right.\). Suy ra điểm \(I\,\left( {8t\,;\,3 - 3t\,;\, - 5 + 15t} \right)\).

Mà \(I \in \left( {Bxy} \right)\, \Rightarrow {z_I} = 0 \Leftrightarrow  - 5 + 15t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow I\,\left( {\frac{8}{3}\,;\,2\,;\,0} \right)\).

Khoảng cách từ điểm \(I\) đến \(BA\) và \(BC\) là \({x_I} = \frac{8}{3}\,\) và \({y_I} = 2\,\) \(\, \Rightarrow \,a = \frac{8}{3}\,,\,\,b = 2\)

Vậy \(P = 3a + 6b = 3.\frac{8}{3} + 6.2 = 20\).