Cho hình vẽ bên gồm 4 tam giác. Người ta chọn 3 số phân biệt từ tập hợp \(S = \left\{ {1;2;3;...;26} \right\}\) để xếp vào 3 tam giác ở 3 góc. Sau đó tính tổng bình phương của 3 số đó rồi ghi kết quả vào tam giác còn lại ở giữa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho số ghi ở giữa là một số chia hết cho 5?

Đáp án: \(0,83\).

Đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\), cạnh bằng \(1\), góc \(ABC = 60^\circ \) nên \(\Delta ACD\) và \(\Delta ABC\) đều.

Trong \(\Delta ACD\) vẽ trung tuyến \(AM \bot CD\).

Xét tam giác \(ACM\) vẽ đường trung bình \(ON\), suy ra \(ON \bot CD\).

Vẽ \(OH \bot SN\).

T a có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot ON}\\{CD \bot SO}\end{array}} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SON} \right) \Rightarrow CD \bot OH\).

Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OH \bot CD}\\{OH \bot SN}\end{array}} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).

\(O\) là trung điểm \(AC\) nên \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = 2OH\).

\(AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow ON = \frac{1}{2}AM = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\).

Xét tam giác \(SON\) vuông tại \(O\) có \(OH = \frac{{SO.ON}}{{\sqrt {S{O^2} + O{N^2}} }} = \frac{{\frac{3}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {13} }}{{26}}\)

Vậy \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2OH = 2.\frac{{3\sqrt {13} }}{{26}} = \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}} \approx 0,83\).

Đáp án: \(0,42\).

Quan sát hình vẽ, để đi từ điểm \(A\) đến điểm \(B\), robot luôn phải thực hiện 6 bước đi ngang và 4 bước đi xuống, tổng cộng 10 bước di chuyển.

Mỗi đường đi từ \(A\) đến \(B\) tương ứng với một cách sắp xếp vị trí cho 4 bước dọc trong tổng số 10 bước di chuyển.

Vậy tổng số đường đi có thể có từ \(A\) đến \(B\) là: \(n\left( \Omega  \right) = C_{10}^4 = 210\) đường đi.

Quan sát hình vẽ, ta thấy:

- Điểm \(M\) nằm ở vị trí cách \(A\) 2 bước ngang và 2 bước dọc.

- Điểm \(N\) nằm ở vị trí cách \(A\) 3 bước ngang và 3 bước dọc.

Gọi \(H\) là biến cố “Không đi qua cả \(M\) và \(N\)”. Khi đó \(\overline H \) là biến cố “Đi qua \(M\) hoặc \(N\)”.

TH1: Số đường đi qua \(M\)

Từ \(A\) đến \(M\) (cần 2 ngang, 2 dọc): Số cách đi là \(C_4^2 = 6\).

Từ \(M\) đến \(B\) (còn lại 4 ngang, 2 dọc): Số cách đi là \(C_6^2 = 15\).

Tổng số đường đi qua \(M\) là: \(6\,.\,15 = 90\) đường đi.

TH2: Số đường đi qua \(N\)

Từ \(A\) đến \(N\) (cần 3 ngang, 3 dọc): Số cách đi là \(C_6^3 = 20\).

Từ \(N\) đến \(B\) (còn lại 3 ngang, 1 dọc): Số cách đi là \(C_4^1 = 4\).

Tổng số đường đi qua \(N\) là: \(20\,.\,4 = 80\) đường đi.

TH3: Số đường đi qua cả \(M\) và \(N\)

Từ \(A\) đến \(M\): Có 6 cách.

Từ \(M\) đến \(N\) (cần 1 ngang, 1 dọc): Có \(C_2^1 = 2\) cách.

Từ \(N\) đến \(B\): Có 4 cách.

Tổng số đường đi qua cả \(M\) và \(N\) là: \(6\,.\,2\,.\,4 = 48\) đường đi.

Vậy, số đường đi qua \(M\) hoặc qua \(N\) là:

\(n\left( {M \cup N} \right) = n\left( M \right) + n\left( N \right) - n\left( {M \cap N} \right) = 90 + 80 - 48 = 122\) đường đi.

Số đường đi từ \(A\) đến \(B\) mà không đi qua cả \(M\) và \(N\) là: \(210 - 122 = 88\) đường đi.

Xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{88}}{{210}} \approx 0,42\).